Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
VB=b"Ba, VBT = Bab", Gx-=VB-VBT-5aebabP,
Fx - VBT • VB = Ьа|3ВаВ,з, gx = F-1 = feaPB"BP.
Здесь ba&, 5"p -контравариантные, ba$, Ba|3 - ковариантные компоненты
плоского метрического тензора Е2. Инварианты плоских мер деформации
определяются формулами
Л (Fx) = /; = Ьа$Вар = GJ + G%, I\=*=GIG\, Ix( gx) = 4- (7)
72
2. В последующем преобразовании уравнений плоской задачи к комплексным
переменным в качестве материальных координат оказывается плодотворным
выбор комплексных координат ^ = 2, q2 = z, в актуальной конфигурации.
Условившись сопоставлять вектору c = c1i1 + c2i2 комплексное число
(вектор) c = c1 + t'c2, можно скалярное произведение двух векторов
представить в виде c-d = Rec<i. Это приводит к соотношениям
к Ээ , d'Q /д * д \ г , da , dt, . ( д д \ у
bl - дх1' bl ~ уд г gj) 2 дх* ' Ь*~дх*~1\дг дг)^'
так что
ъ -ь -ь = *-* ъ = ь
11 11 дх'-дх1 ' 22 дх? дх^ ' 12 2 \дх1 дх* дх1 дх? )
Перейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулы
A.-^2(i§+§I),
'¦¦=г(й §-§§)• ""
Потребуется еще представление определителя преобразования (г, z)-(-(а1,
а2)
208 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
3. Переходим к рассмотрению поля преобразования (1) - на плоское
векторное поле налагается перпендикулярное ему поле. Материальными
координатами служат qx, q2, q3--=x3. Векторные базисы задаются
выражениями
П = Ьх, г2 = Ь2, г3 = ; Rj = Вх, R2= В2, R3 = i3,
g=\gsk\ = -^r> G == | Gsk | = B. (10)
Тензоры градиенты места и мер деформации равны
7R = r% = b"Ba + r3R3 = VB + ci3i3, VRT = VBT + ci3i3, (n) G =
Gx+c'2i3i3, F = Fx+c2i3i3.
Компоненты (аЗ) этих тензоров обращаются в нуль -это и является
существенным свойством плоской задачи. Инварианты мер деформации
оказываются равными
I^n + c2, I^n + c2Il IS = C2^ = C2H (12)
Следствием этих формул является соотношение между инвариантами Ik (G)
h-= ^- + 04,-0* (13)
и удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать как
функцию инвариантов /х, /3
з(л, с*Л-с*+-рг, /з)=зх(/1, /3), (14)
так что
dh dh ^ dh ' dh L dh ^ dh ¦ K '
Уравнение состояния, основываясь на (11), можно записать в виде
Т= Е/, lk+{?r+ '• У) F" рХ' +
+ [(!г + ''ж),;!-7Л':,М- (16)
Отсюда следуют соотношения
С-0, а- 1,2; 2/У'- {/, J^+ с' [$-+(/,-*) ¦?] }
(17)
§5]
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
269
и определяется тензор на плоскости
Tx = f"РRaRp = = 2/я- V. |E2/s
дэ
3Ж
/ дэ
\Ж
д'4 \ р х дэ р у г )
dh J д/.г j
Заменив здесь плоский тензор Fx2 его представлением по теореме Г
амильтона - Кэли
получим
Тх = 2Ц
7*
Е" L
рх2
дэ
/;fx-e2/°,
¦/!ж) + (ж+с!ж)рх
По (12) и (15) это выражение приводится к виду
дэ*
Тх = 2/3-"ЧЕ2/3^
рх
(18)
Тензор напряжений представляется формулой
рх
ад г ^
Т = ТХ -f- i3i3/33 = 2I3'fl |е2/ азХ '
+ *3*3
1 а/3 им I г2 дэ 2 ,, 2, дэ
д/3 ж+с {11~С)Ж
(19)
4. В несжимаемом упругом теле .9 = э(/1; 1.2). Соотношения (12), (14),
(15) приобретают вид
/! = /; + <:*, /2 = с-2, /2 = с-а + с*/1 -с4 = с-а + с*/;, (20)
з(/1; /2) = э(/1, C2/1 + C-2_C') = 3X(/1), *1=* (21)
а второе уравнение (11) отпадает, так как /3 не входит в исходное задание
э; слагаемые, содержащие дэ/д13, дэх/д13, должно отбросить из выражения
(19). "Определяемое" напряжение Тя представляется формулой
\
: 2 •! -тт- Fx \
ж+^-^ж
(
и выражению тензора напряжений Т придается вид
Т = - рЕ + Тя = - рЕ2 - pi3i3 + Тя = Тх + i3i3/33. В этой формуле T* =
P'PRaR3 = -pE2
-¦r*^Fx
t3
¦ р -f-2c2
*- + (1 -с3) - dli -ГHi с ) dh
(22)
(23)
(24)
- тензор напряжений в плоской задаче для несжимаемого материала
представлен суммой плоского тензора Тх и тензора i3i3i33.
270 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Эти тензоры не зависят от третьей материальной координаты qs = х3.
Уравнение статики при отсутствии массовых сил преобразуется к виду
V.T=(v*+l,i,^)'T =
= (В" 3^ + '• К-) • <Т* + ГУ") = V*• Т* (tm) 0, (25)
так как производные по х3 равны нулю, a B"-i3 = 0. Компонента /33 тензора
напряжений определяется формулой (24); входящие в нее инварианты /j, /2 и
множитель связи р (давление) станут известными функциями материальных
координат ql, q2 и с из решения задачи равновесия для тензора Тх; на
последнем этапе постоянная с определяется по заданию продольной силы Q
Q = ^ /33 ФО = j ^ t33d da1 da2 = j \ ]/~t33da}-da2. (26)
s s' d(a , a ) g
5. По (2.4.9) уравнению статики удовлетворяет представление Тх через
функцию напряжений U (q1, q2). Обратившись также к формулам (3), получим
Тх = ГрВаВр -= - i, х VVH х i* = В^ х i3B6 х i3VvV6(7 =
= e*e (Bflt x i3) x i3e6p (bp x l) x i3vvv6t/=ev"eepBaBpVvv6n. (27)
Обозначив
VVU = M = BaBpm"p, Tx = - i3 x M x i3 = Ba x i3Bp x i3m"p,
легко обратить это соотношение, умножив его векторно справа и слева на
i3. Получим
i3 х Тх X i, = I, X (Be X i3) (Вр х i3) X i3m"p=-• BaBpm"p=- М=Wt/. Итак,
Wf/ = ~i3xTxxi3. (28)
Через t, N обозначил! единичные векторы касательной и нормали кривой Г в
плоскости х3 = const; предполагая, что N, t, i3 ориентированы как оси XYZ
и dS-элемент дуги этой кривой, имеем
