Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
итераций система обязательно вернется в одно из предыдущих состояний. В
результате все траектории такой системы оказываются периодическими. Это
остается справедливым и для диссипативных систем. В каком смысле можно
считать движение такой системы случайным?
Этот вопрос исследовался Ренно [341], которая использовала целочисленное
отображение 2)
В Структурная устойчивость здесь не помогает, поскольку ошибки округления
не удовлетворяют требуемой гладкости возмущения (см. ниже по тексту).-
Прим. ред.
2) Следует подчеркнуть, что это отображение моделирует прежде всего
типичный эффект "экспериментальной установки" (ЭВМ), который отсутст-
Стохастическое движение и диффузия
309
2л
, mod m,
- cos
m
(5.2.33)
Km
2л
ai+1 - 1 - cos
mod m,
sin
2л
m
где [X J - целая часть X, К - параметр "стохастичности", а а и b - целые
числа в интервале
Это - взаимно-однозначное отображение М = т2 точек плоскости (а, Ь) на
себя. Оно не содержит округления или каких-либо других численных ошибок
х). Для т, кратного 4, и А'с4 отображение имеет две неподвижные точки:
(0, 0) и (- т/4, 0). Первая устойчива при малых X, вторая неустойчива.
Для К = 1,3 и т = = 400 имеются 48 относительно коротких периодических
траекторий, заполняющих некоторую кольцевую область вокруг неподвижной
устойчивой точки (0, 0). Кроме того, имеются 9 очень длинных траекторий,
которые довольно однородно покрывают большую часть фазового квадрата и
соответствуют, по-видимому, "хаотическому" движению. Для К/ = 10 имеются
только 12 (длинных) траекторий, представляющие "хаотическое" движение.
Ренно определила "случайность" периодических траекторий следующим
образом. Имеется всего Ml взаимно-однозначных отображений М точек на
себя. Приписав одинаковую вероятность \/М\ каждому из этих отображений,
получим "случайное" отображение 2). Такое отображение обладает следующими
статистическими свойствами:
1. Вероятность траектории длины п, выходящей из данной точки (а, b),
равна ИМ и не зависит от п.
2. Средняя длина траектории равна (М + 1)/2.
3. Среднее число всех траекторий приблизительно равно In М + у, где у =
0,577 ... - постоянная Эйлера.
Численное моделирование отображения (5.2.33) при К = 1,3 и К = Ю с 300 т
< 800 подтвердило эти свойства "случайного"
вует в исходной динамической системе классической механики. Поэтому
вводимые ниже понятия стохастичности и случайности для отображения
(5.2.33) являются не более чем имитацией, которую нужно четко отличать от
настоящей случайности в непрерывном фазовом пространстве. Любопытно
отметить, что целочисленные отображения качественно моделируют некоторые
квантовые эффекты (см. [77]).- Прим. ред.
Ч Точнее "ошибки" округления (взятие целой части) явно включены в
отображение.- Прим. ред.
2) В таком определении скрыта следующая эргодическая гипотеза: статистика
траекторий для данного (типичного) отображения [например, (5.2.33)]
приблизительно совпадает со статистикой всех М\ отображений.- Прим. ред.
т/2 < а, b </Л '2.
310
Глава 5
отображения. Эти результаты служат подтверждением того, что хаотическое
движение, наблюдаемое в гамильтоновых системах, является следствием их
динамики, а не конечной точности счета. Последняя приводит, напротив, к
периодичности движения. Численные эксперименты, в которых точность счета
изменялась, также подтверждают этот вывод.
§ 5.3. Определение показателей Ляпунова и КС-энтропии
Напомним (см. рис. 5.2) определение характеристического показателя
Ляпунова о для траектории X (t) и близкой к ней х + w, где
w - касательный вектор:
ст(-*о> ^'о)
lim
t -* оо
d (ОНО
-In
d(t) d( 0)
(5.2.8)
Рис. 5.5. Линейный рост расстояния d (t) между близкими траекториями в
интегрируемой системе на примере отображения поворота.
1в проекции на плоскость (J, 0) см. рис. 3.1, а]:
J (0 = J0,
0 (0 = 0о + СО (J) t.
В системах, близких к интегрируемым, аналитический и численный расчет
показателей а (особенно максимального о = сгх) широко используется в
качестве критерия стохастичности. Отметим прежде всего [57 ], что в
интегрируемых гамильтоновых системах все о равны нулю. Рассмотрим в
качестве примера движение на торе
(5.3.1а)
(5.3.16)
Как показано на рис. 5.5, траектории в этом случае представляют собой
окружности, а расходимость близких траекторий оказывается максимальной,
когда вектор w = (А/, 0), т. е. направлен вдоль радиуса. Для двух близких
траекторий имеем
Qi (0 = 0о "Ь (r)(А (5.3.2а)
02 (0 = 0о "Ь (r)о^ ~т (5.3.26)
где (c)о - производная по J. Расстояние между траекториями равно
d2
О!) =
4(02-
х)2
-dl--
: do [(cooJо02 l]
(5.3.3)
Стохастическое движение и диффузия
311
и при больших t растет линейно со временем. Тогда из (5.2.8) имеем о1 =
lim -- In [(co0/0/)2- l] = 0. (5.3.4)
t - ¦ оо 21
С другой стороны, в хаотической области
d{t)^d0e^(x]t, (5.3.5)
lim -1- In = а1>0. (5.3.6)
5.3а. Аналитические оценки
Для достаточно простой динамической системы, в которой области
устойчивости занимают пренебрежимо малую часть фазового пространства,
