Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
х) См. также сборник [495], обзор [492] и популярную статью [449].- Прим.
ред.
2) Такое определение случайности по Мартин-Лёфу [493] (см. также
[492]) представляется слишком узким по крайней мере для теории
динамических систем, поскольку оно включает в себя максимальные
статистические свойства, в частности полную независимость
(бернуллиевость). Критику такого определения случайности см. в работе
[500].- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
307
Можно показать, что последовательности с максимальной сложностью
действительно существуют 4). Рассмотрим теперь некоторый вычислимый тест
на случайность. Тогда можно доказать следующую теорему:
последовательность выдерживает все вычислимые тесты на случайность тогда
и только тогда, когда она имеет положительную сложность 2), т. е.
K(S)= lim (KN(S)/N)00.
А/ -*• оо
Сопоставим каждой последовательности точку на отрезке [0, 1 ]. Тогда меру
множества последовательностей можно определить как меру соответствующих
действительных чисел 3). Можно доказать, что по этой мере почти все
последовательности случайны, т. е. множество неслучайных
последовательностей имеет меру нуль 4).
Посмотрим теперь, как случайная последовательность возникает из
детерминированного уравнения. Возьмем, например, следующее одномерное
отображение на отрезке [0, 1 ]:
хп+1=Юхп, mod 1 (5.2.32)
¦с начальным условием
0 < x0<cl.
Разделим "фазовое пространство" 0 ^ х0 < 1 на десять ячеек с номерами о,
= 0, 1, 2, ... , 9. Тогда, например, для начального условия х0 = 0,157643
. . . отображение (5.2.32) генерирует последовательность
(с,} = 1, 5, 7, 6, 4, 3 . .
Является ли она случайной? Ответ зависит от того, случайно ли начальное
условие х0. Из упомянутой выше теоремы следует, что почти все х0
случайны, а значит, и рассматриваемая последовательность почти наверняка
случайна. Оказывается, что движение вблизи гомоклинных точек в
стохастическом слое случайно, а регулярное движение на инвариантных
поверхностях не является случайным 5).
4) И даже составляют большинство из всех последовательностей данной длины
[231].- Прим. ред.
2) Это не теорема, а другое возможное (и более приемлемое для теории
динамических систем) определение случайности (см. примечание редактора на
с. 306). Впервые такое определение в эквивалентной форме было предложено
Алексеевым (см. [501], с. 75, определение А и обзор [448]).- Прим. ред.
3) То есть просто как длину на отрезке, или более формально, как меру
Лебега.- Прим. ред.
4) Подчеркнем, что возможность случайных траекторий в классической
механике связана, таким образом, с непрерывностью фазового пространства.
Заметим, что в квантовой механике и при численном моделировании это уже
не так (см. ниже и [77]).- Прим. ред.
5) Подобные заключения можно получить из теоремы Алексеева - Брудно (см.
[448, 494]), согласно которой упомянутая выше удельная сложность равна
КС-энтропии: К (S) = h.- Прим. ред.
308
Глава 5
Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их
сложной структурой хаотического и регулярного движения широко
используется численное моделирование, причем число итераций отображения
достигает многих миллионов. Возникает вопрос: в какой степени численное
моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками
округления и прочим "шумом" соответствует реальной динамике системы?
Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как
распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и
другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие
проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента.
Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на
определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало
(см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова
численные ошибки несущественны при вычислении временных средних,
например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно
устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается
пока открытым г).
С другой стороны, конечная точность счета кардинально меняет некоторые
свойства движения. Даже для регулярной траектории ошибка в начальных
условиях растет, вообще говоря, линейно со временем, а для хаотических
траекторий она растет экспоненциально быстро. Если мантисса чисел на ЭВМ
имеет N двоичных разрядов, то начальные условия полностью забываются
через пт ~ 2n итераций для регулярной траектории и всего через пт ~ М
итераций для хаотической траектории, В обоих случаях система окажется
далеко от своего начального положения, если после пт итераций в одну
сторону по времени сделать столько же итераций в обратную сторону.
Более серьезная теоретическая проблема заключается в том, что при этом
смазывается четкое различие между хаотическими и регулярными
траекториями. Например, в случае двумерного гамильтонова отображения
имеется конечное число состояний системы М. = 22Л\ и после п -< М
