Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
реальные процессы укладываются в следующую схему косвенного измерения:
рассматриваемая система взаимодействует с "пробной" системой, после чего
над пробной системой производится прямое измерение некоторой квантовой
наблюдаемой. Пусть Жо - гильбертово пространство пробной системы, S0 -
оператор плотности, описывающий ее исходное состояние, U - унитарный
оператор в Ж(r)Жо, задающий взаимодействие и Е0 - ортогональное разложение
единицы в Жо, соответствующее измеряемой величине. Распределение
вероятностей такого измерения дается формулой
,us(S)=Tr U(S(r)S0)U*(l(r)E0(B))-, B^3§{9S),
87
где 5 - оператор плотности системы перед измерением. Оно может быть
записано в виде (1.3), где
Ж (В) [S] = Тт^и (S(r)S0) U* (1(r)?0 (В)) (1.10)
- вполне положительный инструмент в пространстве состояний системы Ж
(здесь Тг^-частичный след по Жо). Верно и обратное.
Теорема (Озава, [134]). Пусть М - вполне положительный инструмент со
значениями в 86. Найдется гильбертово пространство Жо, оператор плотности
S0 в Жо, унитарный оператор U в Ж(r)Жъ и ортогональное разложение единицы
Е0 в Жо, такие что для любого оператора плотности S в Ж имеет место
формула (1.10).
В основе этой теоремы лежит следующая комбинация теоремы Наймарка и
теоремы Стайнспринга: если JF - вполне положительный инструмент (в
алгебре наблюдаемых), то существует гильбертово пространство Ж,
изометрический оператор V из Ж в Ж, ортогональное разложение единицы Е в
Ж и нормальный "-гомоморфизм л из 83(Ж) в 83(Ж), такие что [.Е(В), зт[Х]]
= = 0 для всех B?<S(85), Х683(Ж) и
JT(B)[X\=V*E{B)n[X\V. (1.11)
Пространство Ж превращается в Ж(r)Жч с помощью рассуждений, которые были
использованы при доказательстве формулы
(3.1.4).
Из (1.11) выводится аналог представления (3.1.4) для вполне
положительного инструмента
оо
Jf(B)[X\= \^Уп(х)* XVn(x){x(dx),
где |i-о-конечная мера на 86, a Vn(x) -[i-измеримые функции на 86 со
значениями в (c) (Ж), такие что
оо
) ^Vn(x)*Vn(x)?(dx) = \.
Соответствующий инструмент в пространстве состояний имеет вид
SOO
2 K"(X)S1/"W^(^). (1.12)
В п=1
При этом распределение вероятностей в состоянии 5 дается формулой
а апостериорные состояния
оо
1.3. Три уровня описания квантовых измерений. Теорема Озава имеет
принципиальное значение, поскольку демонстрирует согласованность понятия
(вполне положительного) инструмента со стандартным формализмом квантовой
механики. Описание измерения в обобщенной статистической модели квантовой
механики может быть осуществлено с различной степенью подробности.
Имеется три основных уровня описания, каждому из которых отвечает
определенный математический объект в гильбертовом пространстве системы:
1) Задана только статистика исходов измерения. Как показано в п.
2.1.2, это эквивалентно заданию обобщенной наблюдаемой, т. е. некоторого
разложения единицы в Ж.
2) Кроме статистики, задан закон преобразования состояний в
зависимости от исхода измерения. На этом уровне адекватное описание
измерения дается понятием инструмента. Каждому инструменту по формуле
(1.5) отвечает обобщенная наблюдаемая, однако это соответствие не взаимно
однозначно, поскольку инструмент дает более подробное описание измерения,
нежели наблюдаемая.
3) Задано динамическое описание взаимодействия системы с пробной
системой. Этот уровень является еще более подробным: каждому инструменту
по формуле (1.10) может соответствовать множество различных процедур
косвенного измерения. Детальность схемы косвенного измерения зависит от
того, где в измерительном приборе проводится черта между "пробной
системой" и "детектором", осуществляющим прямое измерение.
С точки зрения физических приложений представляет большой интерес
вопрос о реализуемости той или иной теоретической схемы квантового
измерения. Высказывалась мысль (см., например, статью "Проблема
измерения" в сборнике [11]), что хотя квантовая механика правильно
отражает некоторые черты микромира, далеко не все, что содержится в ее
математической модели, может иметь свой прототип в реальности. Известны
общие ограничения типа правил суперотбора (см., например, [23]), которые
постулируют измеримость только наблюдаемых, совместимых с некоторой
выделенной величиной типа заряда. В связи со схемой косвенного измерения
возникают следующие вопросы:
1) Соответствует ли данному унитарному оператору U реальное
квантовомеханическое взаимодействие?
2) Соответствует ли данной наблюдаемой А реально измеримая
физическая величина?
Подробное обсуждение таких вопросов выходит за рамки
89-
настоящего обзора, но некоторые комментарии здесь все же необходимы. В
работах Ваневского [165] и Мельника [129] показано, что всякий унитарный
