Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
мере на Q.
С квантовым случайным процессом связываются семейства подалгебр
"прошлого", "настоящего" и "будущего"
82
Процесс называется марковским, если существует согласованное с ф
семейство условных ожиданий (.^<])/gR из 51 на 21/],. такое что
&i\
ковариантним марковским, если дополнительно существует группа *-
автоморфизмов (a^gR алгебры 21, такая что а, (21^) = = 2t/+Jj; t, s6R, и
afS,sj-(x_t~S't+sj, и стационарным марковским, если ф инвариантно
относительно (се,). Для кова-риантного марковского процесса соотношение
<bt[X\ = j?&t\jt[X] (2.12)
при выполнении некоторых условий непрерывности определяет динамическую
полугруппу в 0. Обратно, всякая непрерывная по норме квантовая
динамическая полугруппа {Ф,} расширяется до ковариантного марковского
процесса, удовлетворяющего соотношению (2.12). Если же динамическая
полугруппа удовлетворяет условию детального равновесия, то она
расширяется до стационарного марковского квантового случайного процесса
(Горини, Фриджерио). Условие детального равновесия относительно состояния
S для полугруппы {Ф(} в Ъ{Ж) означает, что существует другая динамическая
полугруппа {Ф(+} в $8(Ж), такая что
Тг 5Ф,+ИУ=Тг5ХФ([У1; X, Уе<9(Ж),
с инфинитезимальным оператором 2>+, удовлетворяющим соотношению
2[X\-2+[X] = 2i[H, X],
где Яб0л(3^) (состояние S с необходимостью оказывается стационарным для
Ф( и Ф(+). До сих пор отсутствует полное описание динамических полугрупп,
допускающих стационарные марковские расширения.
Фриджерио и Маассен [87] указали широкий класс полугрупп, не
удовлетворяющих условию детального равновесия, но допускающих расширение
с помощью "квантового пуассоновско* го процесса". Систематическое
исследование стационарных марковских расширений предпринял Кюммерер
[119]. Он установил прямую связь между эргодическими свойствами
динамического' отображения (неприводимость, слабое, сильное
перемешивание) и его минимального стационарного марковского расширения.
Кюммерер и Маассен [120] показали, что квантовая динамическая полугруппа
в конечномерном гильбертовом пространстве допускает стационарное
марковское расширение с помощью классического случайного процесса тогда и
только тогда, когда ее
6"
83
инфинитезимальный оператор имеет вид
k
5 = 1
I
(2.13)
+ ^K(uUur-X),
г - 1
где Л, - эрмитовы, UT- унитарные операторы, Аг>0. Оператор
(2.13) является суммой выражений (2.2), (2.3), соответствующих
гауссовским и пуассоновским полугруппам, а расширение получается с
помощью случайного блуждания на группе автоморфизмов алгебры 9Л".
Неоднозначность расширения динамической полугруппы до случайного
процесса связана с тем, что знание полугруппы {Ф(} позволяет восстановить
лишь хронологически-упорядоченные корреляционные ядра
для которых 0<^< ... <Ltn (здесь фо = Ф15to - начальное состояние). В
классической теории вероятностей корреляционные ядра зависят от времен
tx, . . ., tn симметричным образом; известная конструкция Колмогорова-
Даниэля однозначно сопоставляет полугруппе переходных вероятностей
марковский процесс, являющийся ее минимальным расширением до группы
временных сдвигов в пространстве траекторий. Определение квантового
случайного процесса, основанное только на хроноло-гически-упорядоченных
ядрах, было предложено Линдбладом [124], некоммутативные обобщения
конструкции Колмогорова- Даниэля рассматривались Винсент-Смитом [161], В.
П. Белав-киным [3], Соважо [146].
Алицки и Мессер установили существование и единственность решения
класса нелинейных кинетических уравнений, в частности, квантового
уравнения Больцмана:
где W - унитарный "оператор парных столкновений" в Тг(2)-частичный след
по второму множителю в Отве-
чая на вопрос, поставленный Стритером в [143], Фриджерио и Аратари
построили расширение "нелинейной квантовой динамической полугруппы",
определенной уравнением (2.14) по унитарной эволюции в квантовой системе,
состоящей из бесконечного числа частиц с парными взаимодействиями
(квантовое обобщение "карикатуры Мак-Кина" классического уравнения Боль-
(2.14)
84
цмана). В. П. Белавкин [4] дал конструкцию квантового ветвящегося
процесса, в котором одночастичная динамика описывается полугруппой
нелинейных вполне положительных отображений общего вида.
Глава 4
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 1. Статистика последовательных измерений
1.1. Понятие инструмента. Рассмотрим последовательное измерение двух
величин X, Y, принимающих значения, соответственно, в множествах 36 и Щ,
