Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Q на Н, определяемое как
со (В (h) В (k)) = coQ (В (h) В (k)) = (h, k) + /' (Qh, k).
(3.4)
Отметим, что кососимметричная билинейная форма q(.,.) на Н
записывается как q (h, k) = (Qh, k), где Q - косоэрмитов
сжимающий оператор на И, тогда и только тогда, когда
'ZcicI[(hi,hi) + iq(ht,h1)}^ 0 (3.5)
i, I
для всех конечных наборов {а^С: i= 1, rt} и {hi^H: i= 1, ..., л}.
ГНС-представление А(Н), определяемое квазисвободным
состоянием соQ, является точным, поскольку со^ есть произведение
точного состояния и состояния на простой С*-ал- гебре [42],
38
JI. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
В следующей лемме изложены результаты Эванса [43, 44],
Фаннеса и Рокка [45].
Лемма 3.1. Если Z- вполне положительное, сохраняющее
единицу отображение А (Я) на себя, удовлетворяющее условию
Z (В (А)) = В (ГА) (3.6а)
для всех h^H, где Т - линейный оператор на Н, и такое что
aQ°Z = (x>Q, (3.66)
где о)q - квазисвободное состояние на А(Н), то
I CiCj [(А,, А,) - (ГАг, Thj) + i (IЗА,, Ay) - t (QTht, Th,)] > 0
t, /
(3.7)
для всех конечных наборов {с,} еС и {А,} е Я. Это, в частности,
означает, что Т является сжатием.
Обратно, если задать сжатие Т и косоэрмитов оператор Q в Я
так, чтобы удовлетворялось (3.7), то существует каноническое
вполне положительное, сохраняющее единицу отображение А(Н) на
себя, удовлетворяющее (3.6а) и (3.66).
Доказательство. Z отображает линейную оболочку элементов
{B(h): АеЯ] на себя и является сжатием относительно полунормы
II * IIQ = (***), JCSlin с {В (А): А ЕЕ Я},
поскольку
coQ (Z (*)• Z (*)) < coQ (Z (*•*)) = (*•*)
согласно неравенству Кадисона - Шварца. Этот факт выражается
соотношением (3.7). Наоборот, если (3.7) справедливо, то Т является
сжатием, причем
COQ (В (hi) ... В (hk)) = coQ (В (Dhi) ... В (DA*)). (3.8а)
где D - ( 1 - T*T)'l>. Следовательно, можно построить вполне
положительное, сохраняющее единицу отображение Z, полагая [43,
44, 45]
Z(B(hi) ... В (А")) =
"P,,L,(sgn'')B ("¦'.) ••• в(п,'*И(в(/ч+,) ••• в('ч".
(3.86)
где (• ) определено формулой (3.8а), а суммирование выполняется по
всем разбиениям набора {1, ..., п) на два множества {j'l < ... < im},
{im+1< < in} и sgnp есть чет
ность перестановки {1, ..., п) •-> {г'ь ..., in}.
Квантовые случайные процессы
39
Определение. Отображение, определяемое равенствами (3.8а) и
(3.86), называется квазисвободным вполне положительным
отображением и обозначается AQ(T).
Заметим, что AQ (0) = coq (•) 1; если Т изометричен и ком-
мутирует с Q, то AQ(T) совпадает с А(Т), введенным в (3.2), и
AQ(T) является условным ожиданием, совместимым с coq, тогда и
только тогда, когда Т есть ортогональный проектор, коммутирующий
с Q. Множество !?Q сжатий Т на Н, которые удовлетворяют (3.7),
образует полугруппу, а Т>->AQ(T) есть гомоморфизм из !?Q в
множество вполне положительных, сохраняющих единицу
отображений на А(Н).
3.2. Пусть {Х?: (eR)-семейство изометрических ото-
бражений из вещественного гильбертова пространства М в
вещественное гильбертово пространство Н, причем Н = = V {Xtm:
(eR, /пе М}, и положим, что Q есть косоэрмитово сжатие в Н.
Пусть s4- = А (Я), и пусть
jt = A(Xt): А{М)^А{Н), co = coQ. (3.9)
Случайный процесс {s4-, {jt}, со) над А(М) с множеством значений
параметра R называется квазисвободным процессом. Отметим, что
/>->// сильно непрерывно тогда и только тогда, когда сильно
непрерывно С->Xt.
Теорема 3.2.1. Квазисвободный процесс (s?, {//},со) над А(М)
определяется с точностью до эквивалентности своей
ковариационной функцией
со (jtB (m) jf В (m')) - (m, К (t, l') m') + i (m, KQ (t, t') m'), (3.10) m,
m's M, t, t' e R, где K{t, t') и KQ(t, t') в <Я(М) обладают
свойствами:
К {(, О - 1 для всех t е R,
К {I, (У = К (/', t), KQ (t, t'Y = -KQ {t', () (3.11a)
для всех t, t' e R,
X ctCj [{mh К {ti, ij) m,) + i (m?, KQ (Я tj) mt)] > 0
(3.116)
для всех конечных наборов {с(} е С, {К} eR u {m?} е М.
Доказательство. Если процесс {$?, {/*}, со) над А(М) ква-
зисвободный, то К (/, /) = XtXv и KQ 0, О = - X)QXt' удовлетворяют
всем вышеуказанным свойствам. Наоборот, задав /((.,.) и KQ{.,.)
так, чтобы они удовлетворяли условиям теоремы, заметим, что
К(.,.) есть положительно определен
40
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
ное ядро на R X R и имеет минимальное разложение Колмогорова
[13] Xt: МI-> Я, где Xt изометричны. Тогда KQ определяет
кососимметричную форму q на Я
для всех конечных наборов {т(.}, {т'} в М, {сг}, {c^j,
{f'j в R. Согласно (3.116) по аналогии с (3.5) q однозначно
определяется косоэрмитовым сжатием Q на Я. Тогда Я, {Xt} и Q
могут быть использованы для построения квазисвободного процесса;
они определяют корреляционные ядра, а еле- , довательно,
квазисвободный процесс определяется с точностью до
эквивалентности.
Теорема 3.2.2. Квазисвободный процесс является стационарным
тогда и только тогда, когда существует группа унитарных
преобразований {Tt: le R} на Н, таких что
