Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(2.9) . Известно, что это имеет место для классических про
Квантовые случайные процессы
35
цессов (конструкция Колмогорова-Даниэля): полугруппа и
стационарное состояние дают времяупорядоченные корреляционные
ядра, а произвольные корреляционные ядра находятся в силу
перестановочной симметрии. В более широком смысле теорема 2.2.2
утверждает, что подобная конструкция возможна, если известны
коммутационные соотношения в так что произвольные
корреляционные ядра могут быть построены из времяупорядоченных
и s4- порождается как векторное пространство времяупорядоченными
произведениями элементов jt(b), йе /е R. В следующем разделе мы
выполняем это построение для квазисвободных процессов на алгебре
Клиффорда. Аналогичная конструкция для некоммутативных
гауссовых процессов на ККС-алгебре может быть найдена в [34].
К 2.3: По поводу других исследований о формуле Фейнмана-
Каца см. [35, 36, 20, 31, 38]. В работе [8] имеется детальное
обсуждение структуры, представленной в теореме 2.3.
Марковские коциклы, состоящие из отображений, не со-
храняющих единицу, рассматривались в [8, 9]; соответствующая
полугруппа Zt в условии теоремы 2.3 тогда также не сохраняет
единицу.
К 2.4: Леммы 2.4.1 и 2.4.2 имеют простую версию в №*-слу- чае
при условии, что группа (щ: /е R} непрерывна в ^-топологии. Тогда
допустимо рассмотрение неограниченных самосопряженных v,
присоединенных к алгебре s4-0. Сходимость правой части (2.16)-
вот все, что необходимо для определения марковского коцикла nit, а
следовательно, и "-слабо непрерывной полугруппы Zt; тогда
инфинитезимальный оператор L полугруппы Zt может быть по
определению взят как сумма L и г [и, •] (см. [39] для классического
случая).
Лемма 2.4.3 была доказана с использованием "-слабой
компактности множества состояний на С*-алгебре и сильной
непрерывности {щ: leR], а следовательно, не имеет простой И^-
версии; таким образом, теорема 2.4.4 также не имеет простого ^-
варианта.
Аналог леммы 2.4.1 будет также справедлив, если предположить
явную зависимость оператора и е & от времени. Если t v {t) = v {t)*
- непрерывная функция на R со значениями в <М, то мы можем
положить
оо
"к,"="+2[П S---S iaK'i))' [•••
[/""(w('"))'fl] ¦¦]\dU
36
JI. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
для s / е R,
оо
\((й)=а+Е,'" $•••$ [лнм)-[•••
/1 = 1 s>C, > ... ><"
•••> [ММ(М)> М ••• dtn
для s^/eR. Тогда ms<t вполне положительны, сохраняют единицу и
tnStimi<a~mSiU для s^/^aeR; ms,t отображает ^[S на себя и
коммутирует с Et\ при каждом s^/eR. Действуя по аналогии с
теоремой 2.3 и леммой 2.4.1, мы можем положить
тогда
,(*) = ?.,(?(&)+*[о (О, b])
для всех b^2D{L), s^/eR и
Zs. /К/, ц = Zst и
для всех s</<"eR. Полагая jt = tno,tjt - trio.tUtio, мы находим по
аналогии с (2.13), что
М](М("0' Ы'Ъп(М) ¦¦¦1п (М) =
=/o°M<,(aiM,<2(fl2 •••
^2)^1)
для всех 0 /1 < ... ^ tn в R, а\, ..., ап, Ь\, ..., Ьп в 33
и для всех п. Процесс (s&, {/i},co) не является стационарным или
марковским в общем случае, однако условные ожидания на si-t\,
совместимые с со, существуют при t ^ 0, поскольку s?t\ = s4-t\ при t
^ 0. Так как {ut - mQitUt, не обра
зует группу автоморфизмов алгебры S&-, то невозможно выбрать ш
на rf так, чтобы (s&, {jt},5>) был стационарным процессом.
Более того, предельная точка сети ^ со о fts при
t-+oо не обязана быть инвариантной относительно (iiiile R}. Таким
образом, аналог теоремы 2.4,4 для зависящих от времени
возмущений не существует.
§ 3. ПРОЦЕССЫ НА АЛГЕБРЕ КЛИШШОРДА
3.1. Напомним некоторую предварительную информацию об
алгебре Клиффорда, а также о квазисвободных состояниях и
отображениях на ней [40] - [45],
Квантовые случайные процессы
37
Алгеброй Клиффорда А (Н) над вещественным гильбертовым
пространством Я-называется (единственная с точностью до "-
изоморфизма) С*-алгебра, порождаемая единицей 1 и
самосопряженными элементами B(h), линейными по h е // и
удовлетворяющими каноническому антикоммутационному
соотношению
В (h) В (k) + В (k) В (h) = 2 (h, k) 1 (3.1)
для всех h, (гей. Отображение h->B(h) непрерывно, и ||5 (h) || =
\\h\\ для всех /гей.
Пусть М и Н - вещественные гильбертовы пространства. Для
любой изометрии X из М в Н существует единственный "-
изоморфизм, обозначаемый А(Х), отображающий А{М) в А (Н),
такой что
А (X) (В (mi) ... В (пгп)) = В (Хт{) ... В (Хтп) (3.2)
для всех ти ¦¦ ¦, тп е М.
Состояние со на А(Н) называется квазисвободным, если
со (В (Н^ ... В (h2n+i)) = 0 (3.3а)
для всех п - 0, 1, ... и всех hi, ..., h2n+1 е Н,
П
со (В (h{) ...В (Ы) = ? (sgn р) П со (В (hp (2r-i)) В (hp i2r)))
r=l
(3.36)
для всех п - 1, 2, ... и всех h h2n^H, где &п есть
множество перестановок р набора {1, ..., 2л}, таких что p(2r- 1) <
р(2г) и р(2г- 1) < p(2r + 1) для всех г = 1, 2, ..., п, a sgnp
означает четность р.
Существует взаимно однозначное соответствие между ква-
зисвободными состояниями со на А(Н) и косоэрмитовыми сжатиями
