Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
распространяющуюся в направлении г, как показано на рис. 15. Разлагая ее
цо двум взаимно ортогональным осям х, у, получим
Хрн = Р, X% - Q\
z
Рис. 15.
Е {t)^q cos at + pa-1 sin at,
Ex (0 ~ Ях cos at-\- pxa-x sin at,
Ev (t) ~ qy cos at -pPusin at.
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
303
Пусть E(t) - Ex(t), и предположим, что Еу (i) описывается вакуумным
состоянием S0; физически это означает, что волна поляризована в
направлении х, а колебания поля вдоль оси у обусловлены лишь
неустранимыми квантовыми флуктуациями. Вводя в плоскости х, у новые оси
х', у', имеем
Ортогональные компоненты Ек< (t) и Еу< (t) могут быть разделены с помощью
двоякопреломляющего фильтра; совместное измерение коммутирующих
наблюдаемых
и дает нужную процедуру.
Рассмотрим общее каноническое измерение вида (8.4). Производя
симплектическое преобразование в Z, можно свести семейство операторов
(8.4) к набору пар операто-
всякое каноническое измерение, например, в оптическом диапазоне в
принципе может быть реализовано устройством, состоящим из конечного числа
линейных оптических фильтров. Было бы интересно более подробно
исследовать этот вопрос, однако это выходит за рамки настоящей книги.
§ 9. Измерение параметров среднего значения гауссовского состояния
Рассмотрим семейство гауссовских состояний |501 ел|
с корреляционной функцией а и средним значением
где rrij (•) - известные линейные функции на симплектическом пространстве
Z, а 0у - неизвестные вещественные параметры, которые подлежат оцениванию
по наблюдениям над рассматриваемой квантовой системой. Например,
со-1 sin соt,
со-1 sin соt.
Р =Рх + Рч, Я =
ров Р, Q типа (6.13); поэтому можно предположить, что
П
tn(z)= 2 Ьт/(г)>
(9.1)
304
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. V!
Se1 еп может быть состоянием поля излучения, представляющим смесь (V.1.8)
фонового излучения и сигнала, в котором неизвестными являются амплитуды
в/ аддитивных компонент сигнала ту (г). Мы будем предполагать, что
функции m,j (•) линейно независимы.
Теорема 9.1. Равномерно наилучшее локально несмещенное измерение
параметров Qlt ... , 9" среднего значения гауссовского состояния может
быть найдено в классе канонических измерений.
Доказательство. В силу предложения V.6.1 семейство |S9i оя| удовлетворяет
условиям, при которых имеет место граница (7.11), причем симметричные
логарифмические производные даются формулой
Lj = R{mi) - m{mj), /= 1, (9.2)
где Ш/aZ определяются из уравнений
ту (г) = а (ту, z), zeZ.
Фиксируем значения 90у-, т. е. среднее значение т(-), и заметим, что в
силу характеристического свойства гауссовских состояний, выражаемого
теоремой V.6.1, пространство канонических наблюдаемых 9^ инвариантно
относительно коммутационного оператора 2). Поэтому, согласно предложению
7.1, в (7.11) можно считать, что оператор g действует в 9^. Обозначая
через aF оператор, отвечающий g при изометрии z ++R (г) - т (г), так что
g (R (г) - т (г)) = R (eFz) - т (аГг),
имеем
Se0{M}S=infTr (9.3)
где
F=[a(zj, оГг*)], (9.4)
и нижняя грань берется по всем симметричным операторам в Z,
удовлетворяющим условию
0<(l + i^)aF(l+ + (9.5)
в комплексификации пространства (Z, а). Здесь ^ - оператор в Z,
отвечающий коммутационному оператору 2) по формуле (V.6.4).
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
305
Покажем, что нижняя грань в (9.3) достигается. Множество операторов aF в
конечномерном пространстве, удовлетворяющих условию (9.5), является,
очевидно, замкнутым. Оно ограничено, так как из (9.5), аналогично (7.10),
следует O^aF^I. Таким образом, множество {aF} компактно. Функция aF -"-Tr
GF-1 является суперпозицией непрерывной функции (9.4) и функции F-"- Тг
OF-1, которая полунепрерывна снизу, будучи верхней гранью семейства
непрерывных функций F-"-Tr (/(F-f-el)-1; е>0. По известной теореме
анализа функция, полунепрерывная снизу, достигает минимума на компактном
множестве.
Пусть aF ? - оператор в Z, на котором этот минимум достигается, и F* -
соответствующая ему матрица. Тогда оптимальные векторы XJ, согласно
(7.12) и (9.2), даются формулами
X] = R (zj) - т (г*), /=!,..., п,
"zf
; = F~1
(9.6)
Отметим, что система {г*} является по построению биортогональной к
векторам {ni]}, представляющим компоненты среднего значения в (Z, а):
mk(zj)s=a(zJ, mk) = b]k. (9.7)
Отсюда, в частности, т (г*) = 0оу.
Элементы Х*\ / = 1,..., п, и матрица /(*==[х**] = = F~l\a{mj, aF* (I -
aF*) яг*)] F;-1 по построению удовлетворяют условию (7.5), которое в силу
того, что
[Xj, X%]s = [R(zj)-m(zj), R(z%)-m(z%)]s = A(zj, zf), сводится к
неравенству
¦ +
2
Согласно предложению 8.1, существует каноническое измерение M^(d01...d0n)
с параметрами Х'мt=R(zj), j - 1,... , я; К* Оно является локально
несмещен-
ным, так как согласно (9.7)
{Lj, Xk",)s = (R(mj) - m(m}), R (z|))s = a(m/, zl) = 6;*. Поскольку
параметры измерения М* (dQ1... dB") не зави-
[*?*] 55 ±4 [Л (zj, z%)].
зоб
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
сят от фиксированных вначале значений 0О/, оно является равномерно
