Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(1.7), (1.8). В этой главе мы введем и изучим общий класс квантовых
гауссовских состояний, обладающих замечательными аналогиями с
гауссовскими распределениями теории вероятностей.
§ 2. Каноническое коммутационное соотношение
для многих степеней свободы
Преобразуем каноническое коммутационное соотношение (III.3.2) для одной
степени свободы, вводя двухкомпонентные векторы г = [х, у],
кососимметричную форму
А (г, г')=ху'-х'у
и полагая V (z) = W-Xf у^. Соотношение (III.8.2) примет тогда форму
V (z) V (г') = Д Л (1' V (г + г'). 1)
В случае s степеней свободы поступим аналогично. Пусть хк, yk - пара
вещественных чисел; положим г* = = [хк, г/А] и г = [гг, ..., г*]. Таким
образом, г -25-мерный вещественный вектор. Введем билинейную
кососимметричную форму
S
А (г, г') = 2 {хнУк-х'кУк).
*-1
13] КАНОНИЧЕСКОЕ КОММУТАЦИОННОЕ СООТНОШЕНИН 288
По аналогии со случаем s = 1 мы называем представлением канонического
коммутационного соотношения (с s степенями свободы) всякое непрерывное
семейство унитарных операторов z->V(z) в некотором гильбертовом
пространстве <Эъ, удовлетворяющее соотношению (2.1).
Канонические наблюдаемые Р*, Q*; 6=1, ..., s, получаются отсюда следующим
образом. Учитывая, что в силу кососимметричности
A(z, zJbO, (2.2)
получаем, что семейство {V {tz), - оо</< оо} при фиксированном z является
группой унитарных операторов. По теореме Стоуна
У(2)-е"<*>, (2.3)
где R (г) - самосопряженный оператор.
Из (2.1), (2.3) имеем
(JtR (z)etsR <z') _ g"sA (г, z')g*s" <z') g"fl (z)_ (2.4)
Дифференцирование этого равенства по t и s в точке t - s = 0 дает
формальное соотношение
[P(z), P(z')] = -/A(2, z')I. (2.5)
Мы получим его строгую версию в § 4. Пусть ek - 2s мерный вещественный
вектор [z,, ..., zs\, для которого Z/= О при j=?=k и г* = [ 1, 0], а Л* -
аналогичный вектор, для которого zft = [О, 1]. Полагая R(ek) = Pk, R(hk)
= Qk и учитывая, что
Л(е*, ft/) = S", А(ек, et) = A (hk, ft,) = 0, (2.6)
получаем
1Рь Qi] = -i6", fPft, P,] = [Q*. Qi] = О,
что эквивалентно коммутационным соотношениям Гейзенберга (II 1.7.3) для s
степеней свободы.
Отметим, что z = (xkek-^-ykhk), так что
к
fl(2) = 2j(**P* + y*Q*),
k
где в правой части имеется в виду самосопряженное
234
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
расширение соответствующего оператора. Используя это обозначение, имеем
S
V (г) = ехр
4 = 1
Операторы R(z) будем также называть каноническими наблюдаемыми.
Полезно рассмотреть "бескоординатную" форму этой конструкции. Отвлечемся
от конкретного вида формы А (г, г') и координатной записи векторов г.
Пусть Z - вещественное линейное пространство и А (г, г') -
кососимметричная невырожденная билинейная форма на Z. Это означает, что A
(z, z') =- А (г', г) и равенство А (г, 2')=0 для всех г влечет г' = 0.
Такая пара (Z, А) называется симплектическим пространством. Для любого
симплектического пространства можно определить представление канонических
коммутационных соотношений 2 -v V (г) как семейство унитарных операторов
{У (z), z е Z}, удовлетворяющих соотношениям (2.1) для всех 2, 2'eZ.
При таком подходе нет даже необходимости требовать конечномерности Z.
Однако, если предположить, что Z конечномерно, то его размерность
обязательно оказывается четной: dimZ = 2s. Для доказательства введем
какое-либо скалярное произведение а на Z и будем обозначать
соответствующее евклидово пространство (Z, а). Пусть ^ - оператор формы А
в (Z, а), так что
А (г, г')=а(2, г'); г, 2'eZ. (2.7)
В силу свойств формы A, - невырожденный кососимметричный (&* = - Ж)
в (Z, а) оператор. По известной
теореме линейной алгебры, в (Z, а) существует ортонор-
мированный базис ёг> ё2, Н2 в котором имеет
матрицу вида
' 0 <4 о I
-di 0 | и j
1..........0 d"j..
I -^2 0 1
0
!
d/> 0,
(2.8)
в частности, Z обязательно должно быть четномерным.
$ 2] КАНОНИЧЕСКОЕ КОММУТАЦИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 235
Далее, мы будем иметь дело только с конечномерным случаем (хотя настоящее
поле описывается бесконечным набором осцилляторов).
Базис [в/, hj\ / = 1, s} в (Z, А) называется симп-лектическим, если для
него выполняются соотношения
(2.6). В симплектическом базисе форма А имеет канони-
S
ческий вид А (г, г') = ^ (Х!У) ~ */*//)> где z = ^ (хуеу+г/уйу), У = I
У
z' = 2 (x'fijy'/hj). Он играет ту же роль для симплек-У
тического пространства, что ортонормированный базис - для евклидова
пространства. Для любого симплектиче-ского базиса наблюдаемые Pj=^R(ej),
Qj = R(hj) удовлетворяют коммутационным соотношениям Гейзенберга.
Примером симплектического базиса может служить построенный в начале этого
параграфа базис \е;-, hj] в пространстве 25-мерных векторов-строк. Однако
в любом симплектическом пространстве существует бесконечно много
симплектических базисов. В самом деле, пусть а - любое скалярное
произведение в Z; тогда базис е< - 1 - , 1 г
- 1 является симплектическим в силу
(2.6) -(2.8). Полагая aj = dj\ получаем отсюда Предл ожение 2.1.
Симплектическое пространство (Z, А) обязательно имеет четную размерность
