Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
описывают изменение состояния соответственно при сдвиге начала координат
на расстояние х и при переходе в систему координат с тем же началом, но
движущуюся со скоростью и. Как было указано в предыдущем параграфе,
всегда можно сделать так, чтобы семейства {Vx\, {Uv\ образовывали
однопараметрические группы унитарных операторов:
У x,Vxa = Vx, + x,< Uv,^Jv2~Uvt + vy-
Рассмотрим теперь переход в систему отсчета, сдвинутую на расстояние х и
движущуюся со скоростью v. Этот переход может быть совершен двумя
различными способами:
(х, v) = (x, 0) (0, и) = (0, v)(x, 0), причем результат не должен
зависеть от способа перехода
S -> uvvxsv%ut = vxuvsmv%
для любого S, откуда
UvVx = VxUve*(*.">, (3.3)
118
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. 111
где Т1 (х, v) - вещественная непрерывная функция своих аргументов. При х
= 0 или п = 0, согласно (3.3), 1 =
= е'Л(0, v) - eir)tx, 0)> так чт0 МОЖНО ПОЛОЖИТЬ Г](х, 0) =
= г] (0, и) = 0 Умножая (3.3) на Uv>, получаем
т](х, u + u') = ri(x, u) + ri(x, v') (mod 2л).
Единственным непрерывным решением этого уравнения, удовлетворяющим
условию ц (х, 0) = 0, является ц (х, v) = = ц (х) ¦ V. Аналогично, г| (дс
-j-л:', гд) - t] (х, г*) + г| (х', и) (mod 2я), откуда r\(x, v) = \ixv,
где р. - некоторая вещественная постоянная, так что
UvVx=VxUv-ei^. (3.4)
Выбирая множитель перед WXiV так, чтобы выполнялось
ф XV
Wx,v = e~*~VxUv, (3.5)
убеждаемся, что семейство {WXtV\ удовлетворяет соотношению (3.2).
Покажем, что требование неприводимости исключает случай р = 0 при dim Ж"
> 1. Умножая (3.4) на V*x, получим
У%и^х = и^^. (3.6)
По теореме Стоуна Uv = ^ eivXG (dk), где G (d\) - ортогональное
разложение единицы в Ж. Из (3.6) тогда следует, что для любого ф в Ж
$ ем (ф | V*G (d^) Улф) = 5 е'41 (>"+цл:) (ф I G (dX) ф).
В обеих частях этого равенства находятся преобразования Фурье
вероятностных мер. В силу единственности, эти меры должны совпадать, т.
е.
(<pIv;g(B) у*ф) = (ф|0(я_м,)ф)
для любого множества Sse/(R), где В_* = {? - х: -
сдвиг множества В на -х. Так как это выполнено для любого ф е Ж", то
ViG(B)Vx = G(B^lx). (3.7)
В частности, если р = 0, то отсюда следует, что
VXG (В) = G (В) Vх. (3.8)
*41
КАНОНИЧЕСКИЕ НАБЛЮДАЕМЫЕ
119
По построению
UVG (B) = G(B)UV,
Таким образом, всякое подпространство вида <Жв = = G (В) <Ж является
инвариантным подпространством семейств {V*}, {Uv\, а значит и \WXiV],
Если существует В такое, что рЖв ?=[0], <Ж, то рУГв-нетривиальное
инвариантное подпространство. В противном случае группа {Uv} является
скалярной и существование инвариантного подпространства при dims%^>-l
легко доказывается.
Предложение 3.1. Всякое непрерывное неприводимое проективное
представление группы кинематических преобразований (3.1) задается
семейством унитарных операторов \WXi г,}, удовлетворяющим соотношению
Вейля - Сигала (3.2), где р -• вещественная постоянная, не равная нулю,
если dim Ж >• 1.
В дальнейшем мы увидим, что параметр р интерпретируется как масса, так
что физический смысл имеют представления с р>0.
§ 4. Канонические наблюдаемые. Соотношение
неопределенностей Гейзенберга
Согласно теореме Стоуна, в пространстве представления существуют
самосопряженные операторы Р и Q такие, что
Vx = e~ixP, -со < я < оо;
Uv = ei^-vC>, -оо<о<;оо.
Операторы Р и Q являются квантовыми наблюдаемыми; соответствующие
ортогональные разложения единицы
Q=ji?(dE), lp = jr,F(dr,)
описывают некоторые квантовые измерения. Выясним их кинематический смысл.
Для этого перепишем соотношения (3.2) в форме Вейля
V*xUvVx = e*(tm)Uv, U$VxUv = e-^xVx.
(4.1)
(4.2)
120
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ГГЛ III
Рассмотрим для определенности первое соотношение. Вытекающую из него
формулу (3.7) можно переписать в виде
V$E(B)VX = E(B_X), flea/fR). (4.3)
Предположим, что состояние S приготавливается некоторой установкой, с
которой связана исходная система отсчета. Если установка сдвигается на
расстояние х, то новое состояние в исходной системе описывается
оператором плотности S."= Распределение вероятностей
наблюдаемой Q относительно состояния S*:
IlIx(B) = TtVxSV'xE(B) = VlUB-x), B^a^(R), (4.4)
является сдвигом на х распределения вероятностей этой же наблюдаемой
относительно состояния S (см. рис. 8). Таким образом, пространственный
сдвиг установки, приготовляющей квантовое состояние S, находит отражение
в таком же сдвиге распределения вероятностей набтюдаемой Q, независимо от
характера приготовляемого состояния. Поэтому разложение единицы Е (d?) и
ассоциируется с измерением физического параметра - координаты сдвига х.
Совершенно аналогично, из соотношения (4.2) вытекает
UtF(B)Uv = F(B.v). (4.5)
Отсюда следует, что если установка движется относительно исходного
положения со скоростью v, то распределение вероятностей наблюдаемой -- Р
является сдвигом
И1
на v исходного распределения, отвечающего неподвижной установке. Поэтому
соответствующее спектральное разложение /'(dr]) ассоциируется с
измерением относительной скорости квантового объекта. Свойство, которое
