Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
размерности Dr, указывает на существование фиксированной точки вблизи
g*=0 с конечномерной критической поверхностью по крайней мере для
конечной области пространственно-временных размерностей D выше Dr. Это
можно очень удобно показать, используя метод продолжения по размерности,
описанный в этом разделе. Предположим для простоты, что теория, которая
является (строго) перенормируемой при D=Dr, имеет единственный параметр
связи Х0 с размерностью —(D—Dr) р, где р>0. Определим безразмерный
перенормированный параметр связи Х(р) таким образом, чтобы исключить все
полюсы в скоростях реакций при D=Dr. Исходя из соображений, обсуждавшихся
выше в этом разделе, мы можем найти фиксированную точку полной теории для
любого D, полагая равными нулю все связи, которые были бы не-
перенормируемыми или сверхперенормируемыми для D—Dr, и находя
фиксированную точку урезанной теории. Когда это сделано, уравнение
ренорм-группы, которому удовлетворяет Я(р), будет иметь вид
Р ^ * (Ц) = Р (А. <!*), D) = [D- Dr) РК (р) + р (Я (р), Dr). (64)
Л.=**, т* = 0
** 5 **а I
= —2 + 16ла 6 (16л*)* *'• (62)
или, используя (56),
(63)
Второй член справа возникает из петлевых диаграмм, поэтому его степенной
ряд будет, вообще говоря, начинаться с членов второго
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
441
порядка:
р (X (р), Dr) = - (р) + О (X8 (р)). (65)
Чтобы теория была асимптотически свободной при D=Dr (и Я,(р)>0),
необходимо, чтобы величина b была положительной. Тогда при положительном
и достаточно малом (D—Dr) будет существовать фиксированная точка
X* = (D — Dr) p/ft + О ((D — Dr)2). (66)
Все критические экспоненты положительны, за исключением одной, связанной
с X,
(ж)к=^°-Ог^-Ш*+О^ = -^-Ог)Р+О((°-ОгГ)<0,
(67)
и тех, которые связаны с любыми массами или такими связями, которые были
бы сверхперенормируемыми при D=Dr. Поэтому ультрафиолетовая критическая
поверхность является конечномерной, состоящей как раз из тех теорий,
которые были бы перенормируемыми при D=Dr.
Это не следует интерпретировать как утверждение о том, что эти
асимптотически безопасные теории являются перенормируемыми, как обычно
для D>Dr. Метод размерной регуляризации здесь несколько вводит в
заблуждение — он устраняет ультрафиолетовые расходимости во всех теориях
при нерациональных значениях пространственно-временной размерности D
ценой введения полюсов при рациональных значениях D. При любой другой
схеме регуляризации имеется множество ультрафиолетовых расходимостей при
D>Dr, и они должны быть устранены включением в лагранжиан всех возможных
взаимодействий, допускаемых симметриями теории. Появление фиксированной
точки (66) с конечномерной критической поверхностью в формализме
размерной регуляризации гарантирует, что существует фиксированная точка с
ультрафиолетовой критической поверхностью такой же размерности в более
традиционных схемах перенормировки, но фиксированная точка там будет
иметь, вообще говоря, не обращающиеся в нуль значения для всех связей,
перенормируемых и неперенормируемых, и асимптотически безопасные теории
не будут даже казаться перенормируемыми в обычном смысле.
Почему же в таком случае мы должны отказаться от формализма размерной
регуляризации, в котором асимптотически безопасные теории оказываются
столь простыми? Причина заключается как раз в том, что в конечном счете
мы должны заниматься физической пространственно-временной размерностью
D=4, которая больше, чем Dr, и при продолжении от D=Dr до D=4 мы должны
избегать полюсов при промежуточных рациональных значениях D и при самом
D=4, которые будут присутствовать при размерной регуляри-
442
С. Вейнбере
зации. Обычная схема перенормировки предлагает возможный способ
осуществления этого продолжения ценой отказа от видимой
перенормируемости. Однако первый шаг к тому, чтобы убедиться, что
существует фиксированная точка с конечномерной критической поверхностью
для D именно выше Dr, является тем шагом, который может быть легче всего
выполнен методом размерной регуляризации.
в. ГРАВИТАЦИЯ В 2+е-ИЗМЕРЕНИЯХ
Вернемся наконец к гравитации. Мы хотим знать, можно ли требовать, чтобы
квантовая теория гравитации была асимптотически безопасной, и сколько
свободных параметров имелось бы в такой теории. Это зависит от того,
существует ли фиксированная точка g*, и от размерности ее критической
поверхности.
Чтобы подойти к этому вопросу, мы используем метод продолжения по
размерности, обсуждавшийся в предыдущем разделе. В двух измерениях
существует единственная, строго перенормируемая теория чистой гравитации,
основанная на эйнштейновском
лагранжиане —VgR/\6nG. (Интеграл ^(PxVgR является безразмерным в
двумерном пространстве, так что величина G должна быть безразмерной,
чтобы действие J d2xj? не было размерным.) Теория остается
перенормируемой, если мы добавляем к гравитации материальные поля с
минимальной связью, хотя в таком случае может оказаться необходимым
добавить связи материальных полей друг с другом.
