Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
узнать, почему гравитационные взаимодействия на макроскопических
расстояниях так хорошо описываются эйнштейновским лагранжианом— ifgR/lQnG
и почему слабые, сильные и электромагнитные взаимодействия должны при
обычных энергиях так хорошо описываться перенормируемыми квантовыми
полевыми теориями г).
Рассмотрим сначала случай чистой гравитации с лагранжианом вида (8).
Предположим, что теория является асимптотически безопасной, поэтому
бесконечное множество связей должно обязательно лежать на траектории
?;(ц), которая попадает в некоторую фиксированную точку g' при р.—»-оо.
Из ренорм-групповых соображений предыдущего раздела следует, что физика
при низких энергиях определяется поведением связей gt (р) при р—>-0.
Простейшая возможность для ?г(р) состоит в приближении в этом пределе к
другой фиксированной точке. Далее, в предыдущем разделе мы видели, что в
дополнение к gi всегда существует фиксированная точка в нуле. К тому же
каждый член в лагранжиане (8) является неперенормируе-мым, поэтому каждое
собственное значение матрицы d$(/dg] при ^=0 является положительным. Это
означает, что фиксированная точка в нуле является полностью отталкивающей
для р-»-оо, но она, кроме того, является полностью притягивающей для р->-
0: в каком бы направлении мы ни двигались от нуля, мы остаемся на
инфракрасной критической поверхности. Отсюда следует, что имеется по
крайней мере конечная область вокруг нуля, в пределах которой любая
траектория притягивается к началу при р-»-0. Мы не знаем, лежит ли
ультрафиолетовая фиксированная точка g* в пределах этой области, но нет
ничего неприемлемого в предположении, что лежит. При этом предположении
мы можем заключить, что все g,(p) обращаются в нуль для р->-0.
*) См. примечание 1 на с. 409.
г) Обзоры современной перенормируемой калибровочной теории слабых и
электромагнитных взаимодействий см. в работах [140, 141].
430
С. Вейнберг
(Здесь мы неявно предположили, что лагранжиан не содержит члена с
космологической постоянной Л[fg. Такой член был бы сверхперенормируемым и
поэтому соответствовал бы инфракрасному отталкивательному собственному
вектору dftjdgj при gt=0. Космологическая постоянная не требуется в
качестве контрчлена в чистой гравитации, по крайней мере в схеме
размерной регуляризации. Однако теории с массивными частицами будут,
вообще говоря, требовать контрчлена с космологической постоянной, и есть
что-то загадочное в том, почему А, например, не больше на сорок порядков,
чем наблюдаемый верхний предел.)
Для ifi(p), близких к нулю, «петлевой вклад» в (20) пренебрежимо мал, и
решение (12) становится просто
5/ (I*) « (Milufi для
где Mt— набор неизвестных постоянных интегрирования. Величины Mi связаны
друг с другом условием асимптотической безопасности, так что значение
g(p) должно лежать на ультрафиолетовой критической поверхности
фиксированной точки g*. Для одномерной критической поверхности условие
асимптотической безопасности оставляет только один свободный параметр -—
фундаментальный энергетический масштаб М, поэтому все Mt должны быть
порядка М. То же самое верно, даже если размерность критической
поверхности С больше единицы, при условии что (С—1) параметров,
определяющих траекторию gt (р), не принимают исключительно больших или
исключительно малых значений. Тогда мы приходим к выводу, что
первоначальные связи до изменения масштаба (9) имеют порядок величины
^/(р)«Ма' для р<^М. (28)
В частности, (28) дает гравитационную константу G порядка М~2, поэтому М
должно быть порядка планковской массы
М « Мр = С-‘А = 1,2• 10й ГэВ. (29)
Теперь мы можем понять, почему гравитационные явления так хорошо
описываются теорией Эйнштейна на макроскопических расстояниях. Рассмотрим
связанную функцию Грина для системы гравитационных полей в точках с
типичными пространственно-временными расстояниями г. Ультрафиолетовые
расходимости устраняются перенормировкой бесконечного множества
параметров связи, однако здесь существенно, что перенормированные
параметры связи gt (р) будут определяться в точках перенормировки с
импульсами порядка Mr, а не Мр, При этом подходе интегралы в диаграммах
Фейнмана будут начинать сходиться при импульсах порядка Mr, поэтому г
будет единственным размерным параметром в теории, отличным от самих
параметров связи. Уравнения (28) и (29) пока-
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
431
зывают, что константы связи в диаграмме с JV1/ вершинами типа i дают
множитель, пропорциональный N-н степени G1/* или Мр1, где
N = — ^JTtdt, (30)
поэтому из обычного размерного анализа ясно, что вклад такой диаграммы
будет подавляться множителем
(Gl/t/r)N— (rMp)~N. (31)
Таким образом, основными диаграммами для значений г, гораздо больших, чем
планковская длина Л4р1==1,6-10-8# см, будут диаграммы с наименьшими
значениями N. Размерность^ определяется как
di = 4-Pi-gt, (32)
где pi— число производных и gt— число гравитонных полей во взаимодействии
типа t. Чтобы вычислить N, используем известные топологические
