Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Метрика gab, заданная соотношением (1.4), при произвольных вещестзенных еат положительно полуопределена и вырождается, если det(eam) = 0. Я считаю, что такие вырожденные метрики необходимо включать в континуальный интеграл. Именно они позволяют совершить непрерывный переход от одной топологии пространства-времени к другой. Ниже я еще вернусь к этому вопросу.
Тетрады существенны и при рассмотрении фермионных полей. Я буду использовать двухкомпонентные спиноры, HO в положительно определенной, а не в обычной лоренцевой метрике. В лоренцевом случае мы имеем спиноры Xa без штрихов, преобразующиеся по группе SL(2, С), и спиноры цА, со штрихами,
преобразующиеся по комплексно-сопряженной группе SL(2, С). Операция комплексного сопряжения превращает нештрихованные
22 С. У. Хокинг
спиноры в штрихованные и наоборот, так что А,д/ — штрихованный спинор. При аналитическом продолжении на положительно определенную метрику спиноры со штрихами и без штрихов преобразуются по независимым группам SC/(2) и
SX/(2)'. Операция комплексного сопряжения теперь переводит спиноры без штрихов в спиноры без штрихов, спиноры CO штрихами в спиноры со штрихами и либо повышает индекс, либо опускает индекс и меняет знак. Величины, комплексно-сопряженные в лоренцевом случае, например спиноры Вейля ^abcd и ^ABC'D', аналитически продолжаются в евклидову область как независимые поля г]Iabcd и abc'd'- Это позволяет иметь метрику, в которой -^abcd Ф 0, но ^a'BCD — 0. Такая метрика конформно автодуальна, т. е. Cabcd- 'Cabcd = -BabefCeKd- Если
спинор Риччи Фabc'd' и скаляр кривизны А также равны нулю, то метрика автодуальна: R^cd = *Rabca-
В лоренцевой метрике 4-спинор Дирака ^ можно представить в виде вектора-столбца из двух двухкомпонентных спиноров:
*“(?')•¦ о-5)
Сопряженному полю ф в этом представлении соответствует вектор-строка:
Ф = (ил, (1-6)
При переходе в евклидово пространство 4-спинор и сопряженный ему 4-спинор становятся независимыми полями ф и ф, которые описываются четырьмя независимыми двухкомпонентными спинорами ХА, Xа', Дд/ и рЛ В лоренцевом пространстве 4-спинор ф Майораны можно представить вектором-столбцом:
*-(Л
При переходе в евклидову область спинору Майораны соответствуют два независимых двухкомпонентных спинора рА и рА'.
Таким образом, вопреки довольно распространенному утверж-
дению со спинорами Майораны можно работать и в евклидовом режиме.
Действие для гравитационного поля обычно выбирают в виде
'-TStfW-<L7>
Я буду использовать единицы, в которых G = C = A=I. При выполнении поворота Вика в евклидову область элемент объема
1. Евклидова квантовая теория гравитации 23
(—g)'1* переходит в —і(g)Чг. Следовательно, евклидово действие будет иметь вид
TK S *(«>'''<‘-8>
Ho это действие содержит вторые производные метрики, от которых необходимо избавиться интегрированием по частям, чтобы получить действие, квадратичное по первым производным метрики, как и требуется в подходе, основанном на использовании континуальных интегралов. В результате мы получаем поверхностный член, которым часто пренебрегают, хотя он оказывается весьма важным [2, 3]:
1 = - ~шт S * te>'/2 - ~k \к W'h d%x+с> 1I-9)
где h — метрика, индуцированная на границе, К — след второй квадратичной формы границы той области, по которой вычисляется действие, С — произвольная постоянная, которая может зависеть от метрики h, индуцированной на границе, но не от метрики g внутри области. Если метрика h на границе такова, что граница допускает вложение в плоское пространство, то постоянную С естественно выбрать так, чтобы действие обращалось в нуль, когда g — плоская метрика. Однако не все метрики h на границе допускают даже локальное вложение в плоское пространство. К тому же существование такой жесткой границы не очень физично. Учитывая это, я перечислю способы, позволяющие исключить поверхностный член и рассматривать только компактные многообразия.
Я буду говорить в основном о евклидовом подходе к чистой гравитации, но эти идеи могут быть распространены и на супергравитацию. Например, суперпространство S, вероятно, можно рассматривать как расслоение над пространственно-временным многообразием M (база расслоения) с грасмановым слоем. Координаты •Од, $А' слоя представляют собой евклидов вариант спинора Майораны. Евклидовы методы впервые (и пока наиболее успешно) были применены к изучению тепловых свойств черных дыр. Поскольку многое на эту тему уже было опубликовано, я лишь кратко перечислю основные идеи и результаты. Затем я изложу содержание еще не опубликованной работы по гравитационному вакууму и закончу описанием объемного канонического ансамбля, служащего удобным инструментом при рассмотрении пенообразной структуры пространства-времени.
2. Тепловые свойства
Статистическая сумма, или производящий функционал, Z[p]
д,ля теплового канонического ансамбля в случае скалярного
24 С. У. Хокинг
поля ф в плоском пространстве-времени при температуре T = = P-1 определяется как
Z [р] = Z <Ф* I ехр (- РЯ) I ф„>, (2.1)
