Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
(П-1) (п-2)
(-1) 2 =-і[(і +І)/" + (I (Б.25)
Окончательно находим е~— л/2 cos-j-(D+l). Таким образом, е = +1 для D — 2, 4(mod8), є = —1 для D =
= 0, 6 (mod 8). В случаях D = 2, 4 (mod 8) можно, кроме того,
показать, что существует чисто мнимое представление Г-матриц, для которого B = I, С = Г° и майорановский спинор веществен.
В случаях D = 0, 6 (mod 8) такого чисто мнимого представления Г-матриц не существует и майорановские спиноры определить нельзя (по крайней мере при данном определении майо-рановских спиноров; возможны более общие случаи, когда спиноры несут индекс внутренней симметрии и определение майорановских спиноров учитывает эту внутреннюю симметрию) [30].
Перейдем теперь к нечетному числу пространственно-времен-нйх измерений ?> = <2 + 1, где d четно. Существуют ли здесь чисто мнимые представления Г-матриц? В (d + 1)-мерии Г-мат*
И. Расширенная суперсимметрия 211
рицы имеют ту же размерность, что и в d-мерии, и задаются следующим образом:
Г°, Г1, ..., Г*-1, Г0"1=^0 ... Td-1.
Здесь в определение Г°-1 введена мнимая единица с целью сделать Г0-1 пространственноподобной. Для d = 2, 4(mod8) первые d матриц могут быть выбраны чисто мнимыми. Матрица Г° ... Td-1 вещественна, и если вещественна то существует майорановское представление Г-матриц в (<i + 1)-мерии и вместе с ним майорановские спиноры. Для этого необходимо ц2 = (—l)d/2-1 =+1; следовательно, d/2 нечетно и D = = 3(mod8) подходит, в то время как ?> = 5 (mod 8) нет.
Наконец, зададимся вопросом: могут ли существовать без-массовые майорана-вейлевские спиноры? Число измерений D должно быть четным, а условие -ф = -ф* — совместным с Г°+Ч = = ф, т. е. Г°+1 = ^r0 ... Г°-1 - должна быть вещественной матрицей. Отсюда Tj2 = -h 1, следовательно, D/2 нечетно и D = 2, 6(mod 8). Таким образом майорана-вейлевские спиноры могут быть определены только в D = 2 (mod 8) измерениях.
Эту теорему можно обобщить на случай t временных и 5 пространственных измерений. Если s + t четно, то чисто мнимое представление Г-матриц и майорановские спиноры существуют при 5 — / = 0,2 (mod 8).
В безмассовом случае может быть дано более общее определение майорановских спиноров. Поскольку уравнение Дирака сводится к = 0, где а0 = 1, а‘ = ðÑ, {а‘, a'} = 28''', то,
найдя вещественное представление a-матриц, мы можем определить майорановские спиноры как чисто вещественные [31] (такая ситуация реализуется для D = 6, 8 (mod 8)). В общем случае безмассовые майорановские спиноры, как можно показать, эквивалентны вейлевским; единственный интересный случай (когда спинор может быть и вейлевским, и майорановским) имеет место для D = 2 (mod 8).
Теперь мы можем определить число M генераторов суперсимметрии, возникающих при размерной редукции алгебры простой суперсимметрии в D измерениях до 4 измерений. Генератор Qft разлагается на M майорановских спинорных генераторов QaK каждый из которых представляет две вещественные степени свободы. Сам Qft представляет 2D/2r степеней свободы, где г — коэффициент редукции, учитывающий природу спинор-ного генератора: г= 1 для дираковских спиноров, г = 1/2 для майорановских или вейлевских спиноров, г= 1/4 для майо-рана-вейлевских спиноров.
Следовательно, число майорановских спинорных генераторов алгебры расширенной суперсимметрии в 4 измерениях равно M = (1/2)- 2t°/2l-г,
212 Дж. Шерк
Ниже приведены значения М, соответствующие 4 ^ D ^ 12.
D Тип 4 5 б 7 8 9 10 И 12
Дирак 2 2 4 4 8 8 16 16 32
Майорана 1 8 8 16
Вейль 1 — 2 — 4 — 8 — 16
Майорана — Вейль — — — — — — 4 — —
G — — 0(2) 0(3) О (4) 0(5) 0(6) 0(7) О (8)
В последней строке указана очевидная группа симметрии, возникающая при размерной редукции. Однако действительная группа инвариантности редуцированной теории может быть большей. Так, например, в безмассовых теориях после редукции может возникать суперконформная группа.
Таким образом, M быстро растет с увеличением D. Как мы увидим в разд. «в», имеются представления расширенной суперсимметрии с
Jмакс — 1/2 ДЛЯ Al 5? 2,
Jмакс = 1 ДЛЯ M < 4,
Jмакс = 2 ДЛЯ Af < 8.
Таким образом, мультиплеты с /макс = 1/2 и явным массовым членом могут быть получены только из D = 4, 5. Мультиплеты с /макс.= 1 (расширенные суперсимметричные теории
Янга —Миллса) могут существовать до D = 10 для майорана-вейлевских спиноров [32]. Теории супергравитации, в которых /макс = 2, могут существовать до D = Il для майорановских спиноров [32]. При D > 11, по-видимому, нельзя построить суперсимметричные теории со взаимодействием, поскольку уже при D = 12 мы вынуждены вводить частицы со спином 4.
Это алгебраическое рассмотрение является лишь доводом в пользу существования упомянутых теорий. Чтобы убедиться в их существовании, следует их явно построить. Ниже мы приводим два интересных примера: суперсимметричную теорию Янга — Миллса в D = 10 измерениях, которая при размерной редукции соответствует представлению M — 4 суперсимметрии с О(6)-инвариантностью, и теорию супергравитации в D = 11 измерениях, приводящую к теории супергравитации с M = 8 спинорными генераторами.
