Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
В идеальном случае все нежелательные состояния (т. е. не принадлежащие к подмножеству состояний с нулевой массой и перенормируемыми эффективными взаимодействиями) должны были бы получить массы с помощью суперсимметричного обобщения эффекта Хиггса. Легко видеть, однако, что это нельзя сделать ни SU(Ъ)-инвариантным способом, ни даже S?/(3)X X SU(2)X U( 1) -инвариантным способом. Например, массивный спин 5/2 содержит спиральности 5/2, 3/2, 1/2, —1/2, —3/2, —5/2, которые должны принадлежать одному представлению
10. Супергравитация и великое объединение 199
Таблица 1
Спиральные состояния составного мультиплета SU (8) калибровочных векторов
Спиральность -3/2 -1 -1/2 0 + 1/2 +1 +3/2 +2 +5/2
SC/ (8) 1 8 28 56 70 56 28
8 8
Содержание 63 216 420 504 378 168 36
группы симметрии. Ясно, что супермультиплет (11), (12) не содержит всех необходимых спиральностей. Легко убедиться, что для этой цели не подходит ни один из неприводимых супермуль-типлетов и, вероятно, никакое конечное множество супермуль-типлетов. Это еще одно указание на возможную необходимость бесконечного набора состояний. Причина состоит, конечно, в нашем желании остаться с комплексными (киральными) безмас-совыми представлениями. Вообще же очень легко построить конечные наборы безмассовых мультиплетов, которые объединяются в массивные мультиплеты вектороподобным образом; надо просто начать с супермультиплета с конечной массой и перейти к пределу нулевой массы, в котором он распадается на искомые безмассовые супер мультиплеты.
Как уже отмечалось выше, может потребоваться бесконечный набор неприводимых супермультиплетов. Это означало бы, что в динамику при энергиях порядка планковской массы вовлечены состояния с произвольно большими спинами, большая часть которых после спонтанного нарушения симметрии приобретает бесконечную массу в пределе тр~ <?»>-> оо. Te же состояния с высокими (>1) спинами, которые, подобно гравитону, останутся безмассовыми, будут иметь неперенормируемые взаимодействия, пропорциональные обратным степеням тр. Схожая ситуация имеет место в дуальных моделях, интерпретируемых как теории гравитации [35], в которых наклон траекторий связан с планковской массой. В пределе тр-*-оо наклон траекторий стремится к нулю, состояния с нулевой массой отщепляются от массивных и их результирующие взаимодействия имеют вид перенормируемого янг-миллсовского и неперенорми-руемого гравитационного взаимодействий.
Пытаясь извлечь как можно больше свойств TBO из динамики при энергиях порядка планковской массы и не зная на самом деле ни этой динамики, ни, по-видимому, бесконечного мультиплета, Эллис, Гайяр и автор [30] предположили, что все выживающие низкоэнергетические состояния уже содержатся в единственном супермультиплете (11), (12). Далее мы искали
200 Б. Зумино
максимальный набор состояний со спинами 0, 1/2 и 1, содержащийся в этом супермультиплете, который может иметь перенормируемые взаимодействия, отбрасывая, однако, те представления SU (8), которые получаются суммированием верхних и нижних индексов в (11), (12) (следы). С помощью этих (признаться, весьма решительных) упрощений, мы нашли, что предпочтительно нарушение SU (8) до SU(5) (чем до SU(6) или SU(7)). Для максимального набора левосторонних состояний мы нашли два решения, из которых лишь одно вектороподобно ДЛЯ SU(3)c X ?/_(1)эл. м- Это решение имеет три поколения в представлении 5+10 группы SU(5), что находится в соответствии с современными экспериментальными данными (если существует ^-кварк).
Чтобы прийти к этим утверждениям, мы заметим сначала, что 63 состояния со спином 1 из табл. 1 можно идентифицировать с SU(8)-калибровочными бозонами. Бесследовые левосторонние мультиплеты со спином 1/2 разлагаются по отношению к Sf/(5) X Sf/(3) следующим образом:
216 = (10, 3) + (5, 3) + (45, I) + (1, 3) + (5, 1) +
+ (1,6) + (24,3) + (5,8),
504 = (45, 3) + (40, 3) + (24, 1) + (15, 1) + (10, 1) +
+ (10, 8) + (Ї0, 6) + (ТО, 3) + (5, 3) + (5, 3).
Два первых члена являются очевидными кандидатами на роль трех поколений легких фермионов. Скалярный 420-плет разлагается соответственно на
420 = (24, 3) + (5, 3) + (5, 6) + (45, 3) + (40, 1) + (І0, 3) +
+ (5, 1) + (10, 1) + (10, 8) + (1,3).
Мы наблюдаем здесь появление трех скалярных 5?/(5)-сингле-тов. Если один из них получит ненулевое вакуумное среднее, то это нарушит SU (8) до SU (5). (В аналогичной редукции SU (8) до SU(7) или SU (6) синглеты отсутствуют.)
Из анализа SU (N) -аномалий мы знаем следующее. Эффективная SU(8)-калибровочная теория не может быть сделана свободной от аномалий. Подтеории, основанные на SU(7) или SU(6) и свободные от аномалий, не могут быть сделаны вектороподобными относительно SU(3)c X ?/(1)эл, м. если они не являются полностью вектороподобными. С другой стороны, имеется набор фермионов, содержащийся в (216)і + (504)L, который не имеет SU (5)-аномалий, кирален и вектороподобен относительно S U (3) с X ?/¦( 1) эл. м:
(45 + 45)^ + 4 (24)* + 9(10+ Ioji.+ 3 (5 + 5)? _
