Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
72 М. К Прасад
Автодуальность. Сравнивая тождество (3.16) с уравнением движения Янга — Миллса (3.12), мы видим, что любое калибровочное поле, являющееся автодуальным
Fvlv = 9Fvlv, (3.17)
автоматически удовлетворяет уравнению (3.12). Уравнение
(3.17) является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка для калибровочного потенциала А?, поэтому оно много проще, чем уравнение (3.12), которое имеет второй порядок. Мы увидим, что как инстантоны, так и моно-поли являются решениями уравнения (3.17).
Выбор калибровочной группы SU (2). До сих пор мы не уточняли (ради общности), какова компактная группа Ли G. Чтобы избежать ненужных усложнений, ниже мы будем рассматривать простейшую группу Ли, а именно SU(2). Существенные особенности инстантонов и монополей лучше всего проявляются в калибровочной теории SU(2). Конечно, можно систематически обобщать результаты калибровочной теории SU(2) на калибровочную теорию любой компактной группы Ли G.
Для калибровочной теории SU (2) структурные константы Iabc образуют трехвалентный полностью антисимметричный постоянный тензор Babc'
группа SU (2): Ґс = гаЬс(а, Ъ, с = 1, 2, 3). (3.18)
Мы будем использовать представление матрицами второго порядка антиэрмитовых бесследовых матриц Ta:
Г==!г’ а=1> 2’ 3. (3.19)
где ста — матрицы Паули:
Матрицы Паули удовлетворяют следующему уравнению:
ваоь = ЬаЬ + ігаЬсвс. (3.21)
Картаново скалярное произведение для представления (3.19) равно:
(Ta, Tb) = ЬаЬ = — 2 Tr TaTb. (3.22)
4. Точное определение инстантонов
Мы начнем с тривиального неравенства
2^Г $ (d4x) ~ Tr (Fvlv - tFiiv) (Fvlv - tFviv)) > 0, (4.1)
3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей
73
из которого следует неравенство
s=W S{dix) Тг > W S ^4*) Ь Тг V7iw). (4.2)
так как *FIIV*F1AV = FlivFiiv. В неравенствах (4.1) и (4.2) знак равенства достигается только для автодуальных калибровочных полей Fiiv = ittFljlV.
Используя антисимметричность тензора є^хр и свойство следа ТгЛВ = ТгВЛ, можно доказать следующее тождество:
-Tr FvvtFvv^dvJv, (4.3)
где
Zjis ®p.vap Tr ^vFap g- .
Тождество (4.3) позволяет преобразовать интеграл в правой части неравенства (4.2) в поверхностный интеграл с помощью теоремы Гаусса:
J^(</4x){- Tr Fiav4Fiav) =^irJiU100 5 (d>ov)Jv. (4.4)
4
Интеграл в правой части равенства (4.4) берется по сфере
S% I XllXil = Xi + X2 + xl + xt = R2. (4.5)
При использовании теоремы Гаусса мы неявно предполагали, что функционал действия S конечен. Это в свою очередь означает, что
при R-* оо'. Fiiv = О «ЧИСТАЯ KA ЛИВРОВ КА» =*¦ Avl = U~%U.
(4.6)
Здесь мы использовали равенство (3.10); U — произвольная унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице, так что
U — IV4 (Xil) - IoaVa (Xli), Vl + Vа Va = 1. (4.7)
Из равенства (4.6) и (4.7) следует при R-* оо: Jv = +^ BvvafiTr {(U~ldvU) (U^daU) (U^dM)}
(4.8)
= + ! e^pVWf^t (<W (da Vp) (dpvg. (4.9)
( 3 2 0 2 2 2'!
Сфера (5/е: XliX11 = Xi + xi + X3 + Х\ = R } может быть параме-
тризована тремя параметрами \а (а=1, 2, 3); Xv = Xv(Ita). Используя равенства (2.13) и (2.15) при M = 4, получаем элемент объема в виде
1 дха
(d Ofji) = -g Eiav0P 0|с ъаЬс (d §)• (4.10)
74 М. К¦ Прасад
Подстановка выражений (4.9) и (4.10) в равенство (4.4) дает $(<*<*){-Tr FlivVliv) =
(4л1)
sI
Легко проверить, что подынтегральное выражение в правой части равенства (4.11) удовлетворяет следующему тождеству:
Г / dV. \ / dVn \ / М2 Г dVa I
[e^pr,eabcvt )(^-)(^|г)] =s36detLTF^Js
= 36 [определитель Igapl МЄТрИЧЄСКОГО тензора gap единичной сферы KaKa =K2+К V1+ K2K2+K3K3= і]. (4.12)
Следовательно,
-J3- J (d*x){- Tr FlivVliv) = -± Jim J (d%) УЇІ“Г=І*<7. (4.13)
sI
q = топологический заряд = 0, I, 2 ...,
так как, в то время как точка (|ь I2, |з) пробегает по сфере S% один раз, вектор Ka может пробегать сферу KaKa = K2 + + V1V1 + K2K2+ V3V3 = I q раз, каждый раз давая вклад в виде 4-мерного телесного угла J (d3§) = 2я2.
Таким образом, используя равенства (4.12) и (4.13), мы устанавливаем следующее неравенство для функционала действия S:
S>~q, ? = 0,1,2,... (4.14)
Знак равенства достигается только для автодуальных калибровочных полей Fliv = tFliv. Топологический заряд q в случае инстантонов называется инстантонным числом. Неравенство
(4.14) показывает, что для любого данного q автодуальные ка* либровочные поля доставляют абсолютный минимум функционалу действия S.
Вопрос о достижимости равенства S = (8л2/g2) q является динамической, а не топологической проблемой и требует построения явных решений уравнений автодуальности Fliv = tFliv. Потребовались огромные усилия как физиков, так и математиков, чтобы получить явные решения уравнений автодуальности Fliv = tFliv. Попытки начались с пионерской работы Белавина, Полякова, Шварца и Тюпкина (БПШТ) для q = 1 и достигли высшей точки в работе Атьи, Дринфельда, Хитчина и Манина
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
