Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
системы можно было выразить в виде аналитических функций от координат
другой, причем координаты точки gtg^1 при этом будут аналитическими
функциями координат точек gi и g2-
Касательным пространством этого многообразия в точке е называется /7-
мерное вещественное векторное пространство, определяемое следующим
образом. Рассмотрим дифференцируемую кривую g(t), зависящую от
вещественного параметра t со значениями в группе G, для которой g(0) = е.
Пусть g(t) имеет координаты xW(t), i = 1, ..., р, в локальной системе
координат, связанной с точкой е. Тогда числа [dxW (t) /dt\t=о можно
рассматривать как компоненты вектора, касательного к кривой x(t).
Множество всех таких векторов и есть по определению касательное
пространство. (На самом деле можно даже ограничиться рассмотрением кривых
g(t), образующих однопараметрическую подгруппу, т. е. таких, что g(s + t)
= g(s)g(t) и g(-t) = {g(0}-1-) Мы можем рассматривать компоненты этих
векторов кац коор-
8.1. Непрерывные группы и мера Хаара
53
динаты (относительно некоторого специального базиса) * отображения
пространства всех дифференцируемых функций f(s), задаваемого формулой
'4?f<s""L;
Упомянутый выше специальный базис задается с помощью отображения
Таким образом, можно представлять себе касательное пространство как
пространство линейных отображений дифференцируемых функций на G в
множество вещественных чисел, получаемых с помощью линейных
дифференциальных операторов в точке g = e.
Другая операция, заданная для пары векторов касательного пространства, -
произведение Ли, или коммутатор. Эта операция определяется с помощью
сопоставления каждой паре однопараметрических подгрупп x(t) и y(t) (с
касательными векторами X и У) кривой
z(t) = x(YT)y(Vt)x-'(V7)y-HVTl
Если Z - касательный вектор к кривой z(t) в точке е, то мы будем писать
Z = [X, У]
и называть Z произведением Ли, или коммутатором векторов X и У. Ясно, что
[X, X] - это нулевой вектор; кроме того, легко показать, что
[X, [У, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, У]] = 0.
Введенное произведение билинейно относительно своих аргументов, но не
ассоциативно. Оно и не коммутативно, так как [У, X] = -[X, У].
Касательное пространство в точке е, рассматриваемое как векторное
пространство с заданным произведением Ли, называется алгеброй Ли группы
Ли, Элементы алгебры
54
8.1. Непрерывные группы и мера Хаара
Ли мы будем обозначать прописными латинскими буквами.
Важность групп Ли связана, с одной стороны, с их локально евклидовой
топологией и вытекающими отсюда удобными аналитическими свойствами,
позволяющими использовать разработанный аналитический аппарат, а с другой
стороны, - с тем, что очень многие важные группы являются группами Ли.
Полная линейная группа GL(NtR) является, разумеется, группой Ли, причем в
качестве координат здесь можно принять элементы матриц. Ее алгебру Ли
gl(N, R) можно отождествить с алгеброй всех квадратных матриц порядка N
(безразлично вырожденных или невырожденных) с произведением Ли двух таких
матриц, задаваемым формулой
[X, Y] = XY-YX.
Важный подкласс всех групп Ли составляют полу-простые группы Ли; он по
существу исчерпывается классическими собственными подгруппами матричных
групп GL(N,R) и GL(N,C) (последняя состоит из всех невырожденных
комплексных матриц порядка N) !). Он содержит, кроме унимодулярной группы
SL(N,R) (и SL(N,C)) всех матриц порядка N с определителем, равным
единице, также и матричные группы над полем вещественных (или
комплексных) чисел, оставляющие инвариантной некоторую квадратичную
(эрмитову) форму или же кососимметрическую (косоэрмитову) билинейную
форму. Отсюда видна важность класса полупростых групп, содержащего,
очевидно, в числе прочих (вещественную) ортогональную группу O(N),
унитарную группу U(N), группу Лоренца (оставляющую в четырехмерном
пространстве инвариантной квадратичную форму, определяе-
*) Полупростые группы Ли можно классифицировать в терминах их алгебр Ли,
что, как показал Картан, в свою очередь можно свести к классификации всех
компактных простых алгебр Ли (т. е. алгебр Ли компактных групп Ли, не
содержащих нетривиальных идеалов). Если исключить пять особых случаев, то
оказывается, что остаются только алгебры Ли ортогональной, унитарной и
симплектической групп.
8.2. Многомерный статистический анализ
55
мую диагональной матрицей, содержащей на диагонали три раза число 1 и
один раз число -1) и сим-плектическую группу (оставляющую инвариантной
общую вещественную кососимметрическую билинейную форму). Важность этих
полупростых групп Ли будет показана позже также и с другой точки зрения.
8.2. Многомерный статистический анализ
Рассмотрим матрицу
Е = [ец], /= 1, . . ., q; /= 1, ..., N,
составленную из случайных величин, имеющих плотность вероятности
| 2 Г№ (2лГМч/2 ехр [ - у tr {2-'??'}] , (1)
так что ее столбцы представляют N наблюдений g'-мерного нормального
вектора с нулевым средним и ковариационной матрицей 2. Плотность (1)
инвариантна относительно (одновременных) преобразований
