Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
образуют базис в пространстве всех двояко инвариантных функций на G.
Известно, что элементы столбца матрицы неприводимого представления,
содержащего зональную сферическую функцию, правоинвариантны относительно
подгруппы К и ортогональны (здесь предполагается, что представление уже
записано в том базисе, в котором его сужение на подгруппу К имеет
приведенный вид). Мы будем использовать символ фг^Ч^) (f = 1, • • ¦ .
d}.) Для г-й из этих обычных сферических функций, принадлежащих Я-му
неприводимому представлению группы G (класса 1), имеющему степень dp, при
этом подразумевается, что зональная сферическая функция q>W(g) совпадает
с одной из функций cpiw(&)- Сферические функции') могут рассматриваться
как функции, определенные на Г, так как <pi(X)(g?) = т. е. фi^(g)
постоянны на
правых классах смежности по подгруппе К. Положим теперь =фМ>(?), если
gto = t. Тогда
-^_^]ф^)(0фр(0 = 0,
t
если i ф j или Я] ф Яг, а при К\ = Яг и i = } эта сумма-равна единице.
Таким образом, {фг<Л)(г1)} - ортогональная последовательность, функций на
Т. Этих функций столько же, сколько элементов множества Т, так что
функции фjW(0 образуют базис в линейном пространстве всех функций на Т.
!) Следует подчеркнуть, что выбор какой-либо одной функции (g)
произволен, поскольку произволен выбор ортогонального базиса. Это
замечание, разумеется, не относится к зональным функциям Ф(^(?).
32
5.1. Коммутаторная алгебра
Заметим, наконец, что ср№(g) удовлетворяет функциональному уравнению
~ S igikgs) = Ф(Л) (gi) Ы- (4)
к
В самом деле, левая часть этого уравнения равна
где матрица UW предполагается разложенной на неприводимые блоки. Сумма
¦ "!?("
К ¦
равна нулю, если индекс i (или /') не равен индексу строки (столбца),
соответствующей единичному представлению, и равна единице, если
выполняются оба указанные равенства. Отсюда сразу следует (4).
Если коммутаторная алгебра некоммутативна, то положение оказывается более
сложным. В этом случае уже неверно, например, что неприводимое
представление группы G при сужении на подгруппу К содержит единичное
представление самое большее один раз. Однако из той же теоремы
взаимности' Фробе-ниуса следует, что кратность некоторого неприводимого
представления в заданном подстановочном представлении группы G (матрицы
которого - это перестановки точек из Т) равна кратности единичного
представления подгруппы К в этом неприводимом представлении. Путем замены
базиса можно преобразовать матрицы Я-го неприводимого представления
группы G так, что если рассматривать это представление лишь на подгруппе
К, то единичные представления будут занимать первые рх элементов главной
диагонали. Пусть (pjf (g) (i, / == 1, ..., ря) - элементы
соответствующего главного минора этих матриц (конечно, если g е К, то при
i ф / эти элементы равны нулю, а при i = / они равны единице). Назовем их
и в этом случае зональными сферическими функциями.
5.2. Дисперсионный анализ
33
Ясно, что они двояко инвариантны (относительно сдвигов на элементы
подгруппы К) и ортогональны. Матрицы коммутаторной алгебры распадаются на
блоки, соответствующие разложению данного представления на повторяющиеся
неприводимые компоненты, и каждый блок является полной матричной алгеброй
(т. е. алгеброй всех матриц заданной размерности), состоящей из матриц
размерности р^, где р% - кратность соответствующего Х-го неприводимого
подпредставле-ния. Как векторное пространство эта алгебра имеет
размерность р\. Отсюда следует, что здесь также существует ровно столько
зональных сферических - функций, сколько надо, чтобы они могли составлять
базис в пространстве всех двояко инвариантных функций на G
(действительно, как мы знаем, каждая такая функция порождается элементами
коммутаторной алгебры). Если мы возьмем теперь функции ф(г^ (g) (г = = 1,
..., dK; /= 1, .. ., Рх),то эти (обычные) сферические функции снова будут
ортогональны и их число равно размерности данного представления, т. е.
числу точек множества Т. Поэтому они образуют базис в пространстве всех
функций на Т.
Как и раньше, можно рассматривать функции cpf) (g) как ф(0, определенные
на Т, причем если индексы I, / пробегают значения 1, ..., р%, то ф^ (t)
обладает вращательной симметрией относительно подгруппы К.
5.2. Дисперсионный анализ
Этот пример применения теории представлений групп принадлежит Джеймсу [2]
(см. также Манн [1]). Рассмотрим планирование эксперимента с множеством
"ячеек" ("планов"), отвечающих совокупности заданного экспериментального
объекта и используемого способа обработки. Внутреняя симметрия
эксперимента выражается в априорной инвариантности распределения,
вероятностей наблюдений относительно некоторой группы перестановок ячеек.
Простым примером служит эксперимент с рандомизированными блоками. Если
множество ячеек расположить в виде
34
5.2. Дисперсионный анализ
прямоугольной таблицы, строки которой соответствуют исследуемым способам
обработки, а столбцы соответствуют "блокам" родственных экспериментальных
