Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
G4=(4) e6s(6) Є,
Фиг. 16. Фиг. 17. Фиг. 18.
более высокой симметрией.) На фиг. 20 изображена закрученная в пространстве молекула Н3С—СС13, которая „принадлежит* группе Є-j (т. е. обладает группой симметрии С3).
Введем теперь в рассмотрение еще и другие поворотные оси симметрии. Прежде всего мы наложим ограничение, состоящее в том, что разрешается существование не более одной поворотной оси, порядок которой больше 2. Например, если мы берем в качестве исходной группы С„, то мы можем добавить только одну ось 2-го порядка. Кроме того, эта ось должна быть расположена под прямым
62
Глава 2. Группы симметрии
углом к оси п-го порядка, в противном случае мы могли бы получить и вторую ось л-го порядка с помощью поворота на угол п вокруг оси 2-го порядка. Итак, единственная возможность — это
добавить еще одну ось 2-го порядка, перпендикулярную оси п-го порядка. Если же теперь мы составим произведения этих операций симметрии, то получится совокупность, состоящая из п осей 2-го порядка, расположенных в горизонтальной плоскости, и мы получим:
II. Группы, имеющие ось п-го порядка и систему осей 2-го порядка, расположенных под прямым углом к ней', группы диэдров Dn.
Эти группы содержат 2п элементов. Главная ось (л-го порядка) двусторонняя, так что повороты Ckn и С„к попадают в один и тот же класс. На фиг. 21 изображена горизонтальная плоскость с одной осью 2-го порядка а\ ось п-го порядка перпендикулярна плоскости страницы. Предположим сначала, что п = 2. Применение преобразований С2 к оси а приводит всего лишь к изменению ее направления. Но если Са означает поворот на угол я вокруг оси а, то произведение С2Са = Сь, где Сь — поворот на угол я вокруг оси Ь на фиг. 21. Таким образом, группа D2 имеет три взаимно перпендикулярные оси 2-го порядка. Все эти оси двусторонние. Группа является абелевой группой порядка 4 и изоморфна четверной группе Клейна. Иногда для обозначения этой группы пользуются символом V.
При п > 2 группа диэдра Dn не является абелевой.
Случай л = 3 представлен на фиг. 22. Если к оси а применяют преобразования С3 и Сз, то появляются эквивалентные оси Ь и с. Группа D3 содержит 6 элементов Е, С3, Сз и 3 поворота вокруг осей 2-го порядка. Имеются три класса:
Б\ Сз, Сз; Са, Сь, Сс,
§ 3. Группы чистых поворотов, группы диэдров
63
Случай л = 4 изображен на фиг. 23. Повороты вокруг осей
4-го порядка, будучи примененными к оси а, порождают только одну новую ось Ь, эквивалентную оси а. Произведение С4Са представляет собой поворот вокруг оси а' 2-го порядка, расположенной посередине между осями а и Ь. Применяя к а' преобразование С4, мы
/
ь
Фиг. 21.
ч.
Фиг. 22.
Ъ
Фиг. 23.
получаем ось Ь'. Итак, при п = 4 оси 2-го порядка распадаются на две системы эквивалентных осей. Группа D4 имеет 8 элементов, принадлежащих следующим 5 классам:
Е\
С4> С4; С4; Са, Сь\ Са<, Су
Теперь должен быть ясен и результат в общем случае. Группа Dn содержит 2л элементов. Если п четно (п = 2р), то преобразование Е и Срп = С2 каждое образует класс. Это оставляет еще (п—2) = (2р — 2) поворотов вокруг осей /г-го порядка, которые парами распадаются на классы, что дает всего (р—1) классов. Повороты вокруг осей
2-го порядка распадаются на классы, в каждый из которых входит р элементов. Общее число классов равно р -J- 3 = (я + 6)/2.
Если п нечетно (я = 2p-J-l), то все оси 2-го порядка эквивалентны, так что все (2р+1) поворота вокруг осей 2-го порядка попадают в один класс. Элемент Е образует класс сам по себе, что же касается поворотов вокруг оси /г-го порядка, то они образуют (л — 1)/2 = р классов. Общее число классов равно р + 2 = («+ 3)/2.
Задача. Покажите, что группа диэдра Dn порождается двумя элементами а и Ь, такими, что
ап = Ь2 — (ab)1 = е.
Полюсные фигуры для групп D3, D4 и D6 показаны
на фиг. 24—27. Пример группы D2 можно было бы получить, заменив атомы хлора на фиг. 19 атомами водорода (в результате чего получилась бы молекула С2Н4) и сделав равными все расстояния между атомами углерода и водорода. Примером группы D3 могла бы служить молекула С2Н6 в конфигурации, изображенной на фиг. 28.
Фиг. 24.
Фиг. 25.
Фиг. 26.
Фиг. 27.
§ 4. Закон рациональных индексов
(Угол поворота групп СН3 относительно друг друга не должен быть равен 60°, так как возникающая при этом симметрия была бы более высокого порядка, чем симметрия группы D3.)
§ 4. Закон рациональных индексов
Теперь мы исчерпали все возможные точечные группы, содержащие только повороты и имеющие самое большее одну ось, порядок которой больше 2. Читатель, может быть, заметил, что мы дошли лишь до /г = 6, причем случай п = 5 не рассматривали. Причина
этого состоит в том, что для молекул случаи, которые мы опустили
из рассмотрения, являются исключительными. В случае же кристаллов несуществование осей 5-, 7-, 8-го и т. д. порядков следует из эмпирического „закона рациональных индексов". Рассмотрим различные грани и ребра кристаллического многогранника. Возьмем любые три ребра, не лежащие в одной плоскости, и выберем в качестве системы координатных осей прямые, параллельные им и проходящие через одну точку (начало координат). Любая грань многогранника будет отсекать на этих осях отрезки, равные и, v и w. Закон рациональных индексов гласит, что для любых двух граней кристалла
