Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 2
ГРУППЫ СИММЕТРИИ
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры
Обширный класс групп, играющих важную роль в физике и химии, составляют так называемые группы симметрии. В этой главе мы обсудим их несколько подробнее для того, чтобы создать необходимую основу для последующих рассмотрений и как-то конкретизировать понятия, введенные в гл. 1.
Классификация уровней энергии многоатомной молекулы связана с симметрией последней. С симметрией молекулы связана также задача о нахождении спектра колебаний молекулы. Симметрия внешних макроскопических форм кристаллов связана с лежащей в их основе симметрией микроскопической структуры. Классификация энергетических уровней электрона в кристалле оказывается связанной с симметрией поля в кристалле. Для всех этих задач представляется существенным прежде всего дать систематическое перечисление возможных типов симметрии, которыми может обладать молекула или кристалл.
Симметрию некоторого тела описывают, задавая совокупность всех тех преобразований, которые сохраняют расстояния между всеми парами точек тела и совмещают тело с самим собой. Любое такое преобразование называется преобразованием симметрии. Ясно, что такая совокупность преобразований образует группу—группу симметрии данного тела. Все преобразования, сохраняющие расстояние, можно получить из преобразований трех основных типов:
1) поворотов на некоторый угол вокруг какой-нибудь оси;
2) зеркального отражения в некоторой плоскости;
3) параллельного переноса (трансляции).
Последний элемент симметрии — трансляция—может встретиться только в том случае, если тело имеет бесконечную протяженность (например, бесконечная кристаллическая решетка). Следует отметить, что когда трансляционную симметрию используют в физических рассуждениях, то подразумевают, что удаленные точки тела не влияют на решение задачи, так как при таком подходе конечное тело с необходимостью заменяется своей бесконечной экстраполяцией. Например, в теории твердого тела следует затем отдельно рассмотреть проблему, связанную с состоянием поверхности.
Для тела конечной протяженности (молекулы или макроскопического образца какого-нибудь минерала) возможны лишь два первых
50
Г лава 2. Группы симметрии
типа симметрии. В самом деле, все преобразования, принадлежащие группе симметрии конечного тела, должны оставлять неподвижной по крайней мере одну точку тела. Иначе говоря, все оси поворотов и все плоскости отражений должны пересекаться (по крайней мере) в одной точке. Ясно, что последовательные повороты вокруг непере-секающихся осей или отражения в непересекающихся плоскостях будут приводить к переносам и непрерывному смещению тела. Группы симметрии конечных тел (которые должны оставлять по крайней мере одну точку тела неподвижной) называются точечными группами. В этой главе мы ограничимся рассмотрением точечных групп конечного порядка.
Прежде всего предположим, что тело совмещается с самим собой, если мы поворачиваем его на угол = 2я/и (п — целое число) вокруг некоторой оси. Такая ось называется поворотной осью п-го порядка. Если п = 1, то совмещение тела с самим собой происходит после поворота на угол 2я, что является тождественным преобразованием. Операцию поворота на угол 2я/и мы будем обозначать символом С„. Последовательные выполнения этого преобразования С2„, С3п и т. д.
(т. е. повороты на угол 4я/и, бя/я и т. д.) должны также совмещать
тело с самим собой. Если число п делится на целое число I, то
(С»У = С»/Г (21)
Например, ось 6-го порядка в тоже время служит осью 2-го и 3-го порядков. Ось характеризуется наибольшим числом п (или наименьшим углом if). Также ясно, что п последовательных поворотов на угол 2я/п вокруг одной и той же оси возвращает нас в исходное положение и приводит к тождественному преобразованию. Таким образом,
Спп = Е, (2.2)
где для тождественного преобразования мы ввели символ Е (Einheit).
Поскольку очень важно иметь наглядное представление о том, что происходит при выполнении преобразований симметрии, мы, чтобы помочь читателю, будем приводить многочисленные схемы. Один тип схем приведен на фиг. 1. Вертикальная прямая служит осью 3-го порядка, проходящей через центр (неподвижную точку) О молекулы. На то, что это ось 3-го порядка, указывает маленький треугольник а на конце этой ocrt. Аналогично, на ось 2-го порядка указывал бы ромб ¦ на конце оси, на ось 4-го порядка — квадрат ¦ и т. д. Если в точке Р находится какой-нибудь атом молекулы, то наличие оси 3-го порядка означает, что тождественные с ним атомы располагаются в точках Р', Р", где ОР—ОР'=ОР". Аналогично, если атом находится в точке Q, то такие же атомы должны находиться в точках Q' и Q". Для особых положений, таких, как R на оси вращения, образ ТОЧ)<и совпадает с точкой'/?.
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры
51
Такой метод изображения для молекул вполне достаточен. Когда же мы занимаемся рассмотрением внешней симметрии кристаллов, возникает несколько иная задача. Площади граней кристалла данного вещества могут меняться в широком диапазоне в зависимости от условий, в которых был выращен кристалл. Главным содержанием всех исследований по морфологии кристаллов является закон постоянства углов в кристалле: углы, которые образуют друг с другом грани кристалла, для данного кристалла являются неизменными. Эго означает, что кристалл характеризуется направлениями нормалей к граням кристалла и углами, которые эти нормали образуют друг с другом
