Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
reg = Л, + Л2 + 2Е -f- ZFl + 3/\> и D(I2) = Л, + reg.
Аналогично при l=\2nt получаем взятое т. раз регулярное
представление плюс единичное представление. При k <12
D(I2m+ft) = /re(reg)+D(4 (9.47)
Из равенства (9.46) мы видим также, что поскольку число 12 кратно числам 2, 3 и 4, то
Х(0 (-?-)+ Х(11-,,(-х)=°. Xw(?) + X(11-')(?)=24,
следовательно,
D(<)-fZX !1-0= reg. (9.48)
По этой причине результаты в табл. 35 необходимо приводить лишь до 1 = 5. Например, для /=10 имеем
?)(Ю) _|_ ДО — reg,
§ 4. Расщепление атомных уровней
399
откуда
D(10) = Л, + Л2+ 2Е + 2 F, + 3 F2.
Другой интересный результат состоит в том, что ни одно представление не может входить в Z)w(/< 12) с кратностью, большей той, с которой оно входит в регулярное представление. Этот результат следует из равенства (9.48) и того факта, что сумма представлений имеет только положительные коэффициенты.
Уровни, принадлежащие различным представлениям DilK обычно обозначают буквами S, Р, D и т. д., для / = 0, 1, 2 и т. д, Из табл. 35 мы видим, что P-уровни не расщепляются при действии группы симметрии О. (Физически это очевидно, поскольку координаты х, у и z эквивалентны относительно преобразований кубической симметрии.) При I ^ 2 все уровни расщепляются в поле внутри кристалла.
До сих пор мы не рассматривали инверсий. Если мы возьмем полную группу зеркальных поворотов, нашими представлениями будут представления 0+, 0~ и т. д. Так как группа О не содержит инверсии /, представления D(l±^ будут разлагаться таким же образом.
Предположим теперь, что мы рассматриваем группу Ой = ОХ<?г (кубическая голоэдрическая симметрия). В группе Oh каждое представление группы О разобьется на два представления, согласно тому, какое значение мы выберем для %(/)'. +1 или —1. В данном случае мы еще можем воспользоваться всеми результатами табл. 35. При этом следует лишь считать, что все положительные (отрицательные) состояния группы зеркальных поворотов отвечают положительным (отрицательным) представлениям кристаллографической точечной группы. Например, в группе Oh
D(^+) = At + Е+ + Ft + Ft, Z)(2-) = E~ + F2.
Теперь мы можем наметить ход вычислений в общем случае. Если кристаллографическая группа содержит инверсию /, нам нужно рассматривать только такую ее инвариантную подгруппу, которая не содержит инверсии /, а затем сопоставить положительные (отрицательные) состояния полной группы вращений положительным (отрицательным) представлениям кристаллографической группы. Например, если мы рассматриваем расщепление уровней в поле внутри кристалла, обладающего симметрией группы Th~T У( Gt, то необходимо рассматривать только группу Т. Так как в полной группе вращений все оси двусторонние, элементы С3 и СІ группы Т имеют в один и тот же характер. Результаты для этого случая представлены в табл. 36. Заметим, что в группе Т представление В в действительности оказывается суммой двух одномерных представлений- и гюэтому входит в регулярное представление только один раз, Да^ее
400
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Таблица 33
Характеры классов группы Т в (2/+ 1)-мерном представлении D(0 группы вращений Разложение представления оФ на неприводимые представления группы Т Число уровней
1 Е С2 С3 С2
0 1 1 1 1 А 1
1 3 -1 0 0 F 1
2 5 1 —1 -1 E + F 2
3 7 -1 1 1 A + 2F 3
4 9 1 0 0 A + E + 2F 4
5 11 -1 —1 -1 E + 3F 4
6 13 1 1 1 2A + E + 3F= A + reg 6
мы получаем равенство, аналогичное (9.48). Для группы Т это равенство имеет вид
D(')-HD(5"')=reg. (9.49)
Сравнивая таблицу для группы Т с таблицей для группы О, мы видим, что результаты для группы Т можно было бы получить из результатов для группы О, если считать, что представление Ах совпадает с представлением Л2, а представление Fx совпадает с представлением F2.
Наконец, как указано в табл. 22, группа Тd изоморфна группе О, поэтому результаты, полученные для группы О, можно применять и к группе Td. Мы нашли, таким образом, расщепление атомных уровней во всех кристаллах кубической системы (см. § 9 гл. 2).
Рассмотрим далее гексагональную систему (систему VI в § 9 гл. 2). Голоэдрическая группа
^6h = G[,
поэтому нам необходимо затабулировать только группу D6. (Изоморфные группы G6v и D3h имеют одинаковые представления.) Элементы С6, Сч, С2> представляют собой повороты на угол я и в полной группе вращений принадлежат одному классу; С6 — поворот на угол 2я/3. Результаты приведены в табл. 37. Группы
Gth = Giy.Gl и G6
не нужно рассматривать специально; так как эти группы абелевы, каждое (2/-)-1)-мерное представление группы зеркальных поворотов распадается на 2/+1 простое одномерное представление.
§ 4. Расщепление атомных уровней
401
Таблица 37
Характеры классов гексагональной группы D9 в (2/+1)-мерном представлении группы вращений IE q! с* Cg с2 с2, Разложение представления иа неприводимые представления гексагональной группы Число уровней
0 1 1 1 1 1 1 1
1 3 -1 0 2—1 —1 А2 “Н Е\ 2
2 5 1 —1 1 1 1 А\-\- Е\-\- Е2 3
3 7—1 1 -1 —1 —1 А2 -|- В] -)- В2 -f- Ei -)- Е2 5
4 9 1 0 -2 1 1 Ах Bi В2 —(-?)-(- 2Е2 6
5 11 -1 1 1 1 1 А2 -)- В\ -)- В2 -)- 2Е\ -)- 2Е2 7
