Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
396
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
представлений.) Прежде всего заметим, что гамильтониан электрона в центральном поле атома инвариантен не только относительно всех вращений, но и относительно инверсии в начале координат. Иначе говоря, группой симметрии электрона в атоме служит группа 0(3), получающаяся за счет присоединения инверсии / к группе чистых вращений. Так как Р = Е, то матрица представления, отвечающая инверсии /, может быть только единичной матрицей, умноженной на -f-І или —1. Так же как в гл. 4, каждое представление группы чистых вращений приводит к двум представлениям полной группы зеркальных поворотов. Вместо представления мы получаем теперь два представления и
Dil+\lR(а, р, y)) = Dil+\R(а, р, у)) = = D(‘~\R(a, р, v)) = — D{‘~\lR(a, р, у)). (9.45)
Представления D^l+\ в которых инверсии / соответствует матрица —j—1, называются положительными представлениями. Представления в которых инверсии / соответствует матрица —1, называются отрицательными представлениями. Аналогично, уровни, принадлежащие представлению называются положительными (отрицатель-
ными) уровнями. Итак, однозначными представлениями полной группы вращений служат представления
0+. О"; 1+. 1"; 2+, 2"; и т. д.
Каждый уровень свободного атома будет принадлежать одному из неприводимых представлений полной группы вращений (если нет случайного вырождения). Если же атом поместить в кристалл, то поле внутри кристалла, т. е. электрическое поле, которое создают в том месте, где находится атом, другие атомы в кристалле, вызовет возмущение в движении электронов. Электрическое поле будет обладать симметрией одной из кристаллографических точечных групп. В силу этого мы сталкиваемся с задачей теории возмущений, аналогичной той, которая ранее была изучена в гл. 6.
В рассматриваемом теперь случае уровни невозмущенной системы классифицируются по представлениям полной группы вращений. Например, уровень, принадлежащий ^-представлению, будет иметь (21~\~ 1)-кратное вырождение. Если атом поместить в кристалл, этот уровень расщепится на уровни, принадлежащие различным неприводимым представлениям кристаллографической точечной группы. Так же как в гл. 6, мы прежде всего найдем характеры элементов кристаллографической точечной группы в /^"-представлении. Затем, пользуясь уравнением (3.150), найдем кратность, с которой каждое неприводимое представление кристаллографической точечной группы содержится
§ 4. Расщепление атомных уровней
397
в ^-представлении, и тем самым определим, как расщепляется наш уровень в поле внутри кристалла.
Так как кристаллографические точечные группы могут содержать повороты только на углы я, 2я/3, я/2 и я/3, сначала вычислим характер для этих элементов, пользуясь тождеством (9.41).
Поскольку
у(') (^L\ — sin[(/+l/2);(2it/n)]
* \ п ) sin (я/л) '
мы видим, что случай I = п повторяет результат для I = 0, поэтому мы должны затабулировать характеры только для 0 ^ < и. Эти результаты представлены в табл. 34. Заметим также, что
х(0 = _ г(п-і-= _ , (9.46)
где m—любое целое число.
Таблица 34
1 0 і 2 3 4 5
%{1) (С,) і —і
ХФ (Сз) і 0 —1
г №(С4) і 1 —1 —1
і 2 1 —1 -2 —1
Сначала рассмотрим кристаллографическую группу, состоящую только из чистых поворотов. Для примера возьмем группу октаэдра О. Из табл. 35 видим, что группа О содержит классы
Е\ С3( 8); С\ (3); С2( 6); С4( 6).
Элементы С4 и С2 в группе О неэквивалентны, однако в полной группе вращений они эквивалентны, ибо представляют собой повороты на один и тот же угол я. Воспользуемся табл. 34 для нахождения характеров этих элементов в представлении D(l\ а затем равенством (3.150), чтобы найти представления группы О, на которые разлагается представление D^ (табл. 35). Заметим, что характеры в табл. 35 обладают целым рядом общих свойств. Поскольку группа О содержит повороты С2, С3, С4, а наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 4 равно 12, мы видим из табл. 35, что при /=12 характеры всех вращений равчы -(- 1. Кроме того, тождественному преобразованию будет отвечать характер
Х<12>(?) = 25.
398
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Таблица 35
Характеры классов группы О в (2J + 1>мерном представлении OW группы вращений Разложение представления на неприводимые представления группы О Число уровней
1 Е С3 с24 с2 с4
0 1 1 1 1 1 А: 1
1 3 0 —1 —1 1 F, 1
2 5—1 1 1 —1 e+f2 2
3 7 1 —1 —1 —1 А2-{- Fj -)- F2 3
4 9 0 1 1 1 А^-{- Е-\- F i-f-/7 2 4
5 11 —1 —1 —1 1 Е -\-2F j -)- F 2 4
6 13 1 1 1 —1 Al + A2 + E + F1+2F2 6
12 25 1 1 1 1 2 A, + A2 + 2E + 3 Fj + 3 F2 11
Поэтому при /=12 характеры оказываются суммой двух слагаемых: 1) всех характеров, равных -f-1, т. е. характеров единичного представления, и 2) характера х (?') = 24 (порядок группы О); все же остальные характеры равны нулю. Это — регулярное представление, которое мы обозначали символом г eg. Как было показано в § 17, гл. 3, каждое неприводимое представление содержится в регулярном представлении с кратностью, равной размерности этого неприводимого представления. Поэтому для группы О регулярное представление
