Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
0;
(15.1)
здесь p - плотность массы, q - поперечное смещение в точке х в момент
времени t, s - натяжение струны.
Если на струну поместить частицу с массой т, струна будет провисать под
действием силы тяжести
K = -mg;
(15.2)
здесь т - масса частицы (электрона), a g - ускорение свободного падения.
Поскольку уравнение (15.1) в левой части содержит плотность массы, то это
- уравнение движения плотности массы. Поэтому, если мы хотим ввести в
(15.1) вынуждающую силу, то (15.2) следует поделить на dx, а затем
совершить предельный переход и перейти к плотности силы. Если представить
себе, находясь полностью в рамках полевого представления, что электрон
"размазан" и соответственно этому его плотность массы задается функцией
рзл(х, t), то плотность силы будет определяться выражением
К = -рэЛ(х, t)g. (15.3)
Желая проквантовать уравнение Шредингера, мы предположим, что электрон
уже первично квантован и описывается волновой
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛЯМИ
125
функцией. Тогда плотность массы электрона задается выражением
рЭл(я, t) = т'ф+Ы'ф(ж). (15.4)
Если ввести в (15.1) плотность силы, определяемую выражениями (15.3) и
(15.4), то получится следующее уравнение вынужденных колебаний струны:
рq (х, t) - s д q ¦ g- = - mg%p+ (x) ф (x). (15.5)
dx
Теперь рассмотрим уравнение движения электрона или, точ-пее сказать,
волнового поля электрона, которое идентично обычному уравнению Шредингера
для одной частицы. Изменение потенциальной энергии частицы в поле силы
тяжести прямо пропорционально отклонению струны q, умноженному на вес
частицы G. По определению
G = mg. (15.6)
Потенциал, который мы должны подставить в уравнение Шредингера, таким
образом, имеет вид
V(x, t) = mgqix, t). (15.7)
Тем самым по отклонению q(x, t) можно непосредственно судить о величине
потенциальной энергии электрона. Соответствующее обычное уравнение
Шредингера имеет вид
' + G4 (*" О) 4' (*. О = Щ (*. О-
(15.8)
Установив уравнения (15.5) и (15.8), мы получили, таким образом,
уравнения движения полей qix, t) и ф(а:, t).
б) Функция Лагранжа. Функция Лагранжа для свободно колеблющейся струны
уже встречалась нам в § 9, а функция Лагранжа электронного поля с
заданным потенциалом представлена уравнением (12.3). Попытаемся
представить функцию Лагранжа нашей задачи в виде суммы отдельных вкладов,
что приводит к результату
L = j ф* (х, t) Ji% -jL + ~ i-jj ф (х, t) dx + -j- J (pq2 (x, t) -
- S {^q 'dx ^)2) ^X ~~' J ^ (X' ^ ^ (X' ^ ^x' (15.9)
Поначалу может показаться удивительным, что здесь через потенциальное
поле (15.7) учитывается воздействие струны на электрон, а не наоборот -
воздействие, вынуждающей силы, стоя-
126
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
1ГЛ. III
щей в (15.5), на струну. Но если теперь с помощью функции Лагранжа (15.9)
ввести обычные уравнения движения Лагранжа, то мы придем не только к
уравнению (15.8), но также и к полному уравнению (15.5). Ввиду этого
функция Лагранжа (15.9) дает правильное выражение для вынуждающей силы в
(15.5).
в) Построение функции Гамильтона. Для того чтобы построить функцию
Гамильтона, нам нужны канонически сопряженные импульсы, которые можно
получить из функции Лагранжа
с помощью дифференцирования но g и if: dL dL
?Г[ ф ' , ч JT q %
dty дд
Решение проводится точно так же, как в §§ 9 и 12, так что можно сразу
воспользоваться полученными там выражениями. Из общего выражения для Н:
Я = J dx -(- j nqq dx - L (15,10)
непосредственно получаем
H = j> (*){-|^2} (*) dx + ± fn*(x) dx +
" dx + J Gq (x) ф* (x) ф (x) dx. (15.11)
Объединив первый и последний интегралы, можно увидеть, что это есть не
что иное, как среднее значение энергии электрона в потенциальном поле -
Gq(x), а второй интеграл представляет просто энергию свободно
колеблющейся струны. Отсюда мы получаем важное правило построения функции
Гамильтона такого рода систем с взаимодействием: нужно взять полную
функцию Гамильтона частицы и добавить к ней функцию Гамильтона свободно
колеблющегося поля.
г) Квантование. Для того чтобы прийти к квантованию, следует подчинить
функции я* = - (Й /г')ф+ и ф тем же, что и раньше, перестановочным
соотношениям, т. е. перестановочным соотношениям для ферми-частиц (13.8).
Далее следует подчинить яв и q перестановочным бозе-соотношениям, которые
справедливы для колебаний решетки или колебаний струны. Поскольку г|)+, ф
и яq, q относятся к различным системам, далее следует потребовать, чтобы
пары операторов различных систем между собой коммутировали:
| [ф+(ж), яД-г')] = 0, [ф(а:), я,(х')] =0,
J [ф+(ж), ^Gp')]=0, 1ф(ж), <Дж')]=0.
(15.12)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛЯМИ
127
Это правило можно заимствовать из обычной теории Шредингера для системы
многих частиц или аксиоматически положить в основу рассмотрения проблемы
взаимодействия.
д) Разложение по собственным функциям. Последний шаг мы делаем, также
основываясь на далеко идущей аналогии с рассуждениями предыдущих
параграфов. Там было проведено разложение но собственным функциям как
