Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
100
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
Соответствующие состояниям (12.22) энергии имеют вид
I ? = 2V*I* К = 0, 1, 2,...). (12.24)
I и
Результат, представляемый соотношениями (12.22) и (12.24), можно
интерпретировать следующим образом: из исходного уравнения Шредингера
(12.8) устанавливается последовательность энергетических уровней Ец. Эти
отдельные энергетические уровни р могут, как ясно из (12.24), быть заняты
определенным числом я,, квантов, или, иными словами, частиц. Отсюда
становится ясно, что квантование поля также и в случае шредингеровского
волнового уравнения обеспечивает корпускулярный характер. Таким образом,
очевидно, что состояния с энергией Ем можно занять щ частицами, причем Нц
может быть любым целым числом. Следовательно, только что проведенное
квантование относится к случаю статистики Бозе. Соответственно этому,
частицы, операторы рождения и уничтожения которых удовлетворяют
перестановочным соотношениям (12.15-12.17) или (12.18-12.20), называются
бозонами. Примерами бозонов являются фотоны и ядра Не4. С другой стороны,
электроны, протоны и ряд других частиц подчиняются статистике Ферми -
Дирака. Действующий в этом случае принцип Паули утверждает, что нельзя
привести две частицы в одинаковое состояние. Очевидно, что для того,
чтобы при квантовании поля охватить также и эти частицы, следует изменить
соответствующим образом и перестановочные соотношения. Прежде чем мы
займемся этим в последующих параграфах, обсудим более подробно вычисления
средних значений в рамках нового формализма. Мы будем исходить из
классических величин, причем под словом "классический" следует понимать
"первично квантованный". Этим классическим величинам поставим в
соответствие оператор, с помощью которого образуем средние значения.
Применим теперь этот формализм к некоторым примерам.
Пример 1. Оператор плотности числа частиц. В теории Шредингера плотность
числа частиц имеет вид
ф*(х, Hf(x, t). (12.25)
После вторичного квантования плотность числа частиц становится оператором
| р(х) = f+(x)f(x). (12.26)
Соответствующее среднее значение для плотности числа частиц определяется
согласно следующему правилу:
рТхУ = <Ф|1|э+(х)я|)(х)|Ф>. - ' (12.27)
Для пояснения правила (12.27) рассмотрим пример одной частицы, которая
находится в некотором состоянии %. Функция
§ 12]
БОЗОНЫ
101
(12.28)
Если теперь подставить разложения (12.11) и (12.12), а также выражение
(12.28) в (12.27), то мы получим
Применяя перестановочное соотношение (12.18) и используя тот факт, что
оператор уничтожения, действующий на вакуумное состояние, дает нуль, во
второй сумме по v непосредственно получаем
Далее применим (4.18). Если теперь еще раз поменять местами операторы Ьк
и Ьц , то получится следующий результат:
Поскольку ср(х) является обычной числовой функцией, которая не имеет
никакого отношения к построению среднего значения, то эту функцию можно
вынести из угловых скобок и поставить перед средним значением, что дает
Поскольку, наконец, волновые функции вакуумного состояния нормированы, то
в качестве конечного результата получаем выражение
Но это выражение является не чем иным, как обычной плотностью числа
частиц в состоянии и в теории Шредингера.
Пример 2. Оператор координаты. В качестве следующего примера рассмотрим
теперь в рамках вторичного квантования построение среднего значения для
координаты. В теории Шредингера среднее значение координаты вдоль оси х
дается выражением
Этому среднему значению мы ставим в соответствие оператор
Среднее значение этого оператора представляется далее с
Йф, 2 г^Фм (х) 2 M'v (х) ь?фЛ.
\ В V /
(12.29)
^-2^Фа(х)фк(х)Ф0\.
(12.30)
<Фо|фя(х) Ф* (х)Ф0>.
(12.31)
фи(х)фи(х)<Ф0|Ф0>-
(12.32)
Р(х) = (х)ф* (х).
(12.33)
(12.34)
(12.35)
102
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
помощью следующего выражения:
<Ф|ж0П|ф> = <Ф1 J*i|)+(x).ri|)(x)a!3.r| Ф>.
(12.36)
Для того чтобы проиллюстрировать этот случай несколько более
обстоятельно, вновь воспользуемся волновыми функциями
(12.28). Тогда после преобразований совершенно аналогичных тем, которые
были проведены в (12.29-12.33), в качестве окончательного результата
получаем выражение
Весьма поучительный случай двух частиц рассматривается в упражнениях.
Пример 3. Оператор потенциальной энергии во внешнем поле.
В качестве следующего примера рассмотрим потенциальную энергию, которая в
теории Шредингера описывается выражением
Пример 4. Оператор энергии кулоновского взаимодействия.
Несколько менее тривиальный случай возникает при исследовании энергии
взаимодействия двух частиц, например энергии кулоновского отталкивания.
Если вспомнить, что дает плот-
ность заряда частицы, то согласно электростатике для энергии
взаимодействия плотностей зарядов получается следующее выражение:
(12.37)
(12.38)
Ей соответствует оператор
(12.39)
и среднее значение
(12.40)
При Ф = (4Ф0 среднее значение равно
i-(V (х, t) г|) (х, t)dsxd3x'. (12.41)
При переводе этого выражения в квЗктовую форму возникает характерная
