Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
соотношения (9.36) и
- 2 РЩ1 - L. (9.42)
i
Они позволяют получить из функции Лагранжа канонически сопряженный
импульс и функцию Гамильтона. Применяя определения (9.37) и явный
результат (9.35), получаем
л (х) = -^-----= pq (х), (9.43)
bq (х)
или
д(х)^^. (9.44)
Таким же образом, используя предельный переход к континууму, получаем в
(9.42) общую связь между функциями Гамильтона и Лагранжа:
Н= \q{x)n{x)dx- L. (9.45)
Зсли теперь ввести в выражение (9.45) для функции Гамильтона канонически
сопряженный координате q импульс согласно (9.44), а для L выражение
(9.21), то почти непосредственно получим функцию Гамильтона для
континуума (колеблющаяся струна):
ь ь
Н = Yp J dx + 4 ] dx [^дт) ¦ (9-46)
О о
Убедимся теперь в том, что с помощью выражения (9.46) можно
сформулировать уравнения Гамильтона для континуума, которые вновь ведут к
(9.41). Для этого, по аналогии с механикой точки, построим уравнения
Гамильтона континуума
I ' / ч 8Я
I (9-47)
и
н
• Хгт
<9'48>
Дифференцирование по я(х) выполняется с использованием приведенных выше
прцвил. Используя явное выражение (9.46), сразу получаем результат
?(*)' = -"(*)* (9.49)
КЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД К КОНТИНУУМУ
75
Таким же образом получаем второе уравнение Гамильтона
= я. (9.50)
ОХ
Если исключить из уравнений (9.49) и (9.50) канонически сопряженный им
пул ьс я, то получим уже хорошо известные нам уравнения движения (9.41)
или (9.8). Это является, естественно, еще одним подтверждением
непротиворечивости примененного здесь формализма. Результаты этих
параграфов кратко можно сформулировать следующим образом: в континууме,
так же как и в механике дискретных точечных масс, можно применить
формализм Лагранжа и Гамильтона, причем следует лишь заменить правила
дифференцирования (9.25) и (9.27) на правила (9.29). Этой аналогии, как
мы увидим в последующих параграфах, оказывается достаточно, чтобы
провести квантование.
Задания к§9
1. Доказать (9.116) и (9.Ив).
2. Ряд Фурье непрерывной функции. Ввести определенную в интервале (и
кусочно гладкую) функцию fix):
W=^T (" =0,±1,±2,...) (А9.1)
W VL
и определить cw.
Указание. Умножить обе стороны предыдущего уравнения па 1 /}'Ь ¦ e~'w'x,
проинтегрировать по х от 0 до L и воспользоваться соотношениями (9.116) и
(9.11в).
Ответ:
L
cW' = -у= J e~iw'xf (х) dx. (А 9.2)
о
3. Представления 8-функции. Убедиться в том, что 6-функция может быть
определена с помощью следующих предельных переходов: ,
а) 6 {х) = 1 lim (А 9.3)
Я и-*°о Х
б) б (ж) = lim e-"z/u\ (А 9.4)
tt-^oo |/ ЯМ
Указание. Подставить (А 9.3) или (А 9.4) в интеграл ^fix)bix)dx и
рассмотреть его значение для очень большого, но конечного и. Из-за очень
быстрого спадания функции для хФО (рис. 21) функцию fix) в точке х - 0
можно вынести за знак
76
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
интеграла. Воспользоваться, наконец, следующими результатами (и#0):
-{-00 +00
sin их
dx - л
¦ I
е x2/u2dx : ул и.
(А 9.5)
4. Производные б-функции. Показать:
+ 00
d8 (,X - х) gx _ df (X) I
dx dx \x=x'
f{x)'
(A 9.6)
и вообще для n-ii производной 8{n) по х: + 00
( / (х) б(п) {х - х') dx = (- 1)"-^-/
. / fi or
(А 9.7)
У к а з а н и е. Вычислить интегралы по частям.
Рис. 21. Различные представления б-функции.
5. Интеграл Фурье. Если fix) определена во всем интервале - оо < х < +
оо, то от ряда Фурье (см. задание 2) следует перейти к интегралу Фурье.
Положим
+ 00
/+)= --=. f civevlx dw. (А 9.8)
у 2л J
- оо
Определить са.
Указание. Умножить (А 9.8) на 1/(]42л) e~lVj х и проинтегрировать в
интервале - L < х < L, считая, что L велико, но конечно. Поменять порядок
следования интегралов в правой части (А 9.8) и учесть, что
L
= + sin L{w - w) (Д g g)
-Ч
2л; J
для L -* 00 дает 6-функцию b(w-w').
КВАНТОВАНИЕ КОНТИНУУМА. ФОНОНЫ
77
Ответ:
+°°
- оо
(А 9.10)
§ 10. Переход к континууму: квантовотеоретическое рассмотрение. Фононы
Результаты предыдущих параграфов позволяют непосредственно провести
квантование континуума. В механике отдельных точек у нас было следующее
правило квантования: координаты qt и соответствующие канонически
сопряженные импульсы pt заменяются согласно схеме
qt -+¦оператор qt
на операторы, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
В случае континуума координатам теперь соответствуют непрерывно
распределенные координаты qix), а канонически сопряженным импульсам pi
соответствуют непрерывно распределенные импульсы л(х). При этом эти новые
величины зависят от непрерывной переменной - координаты х, в то время как
до этого они зависели от дискретного индекса I. Как мы видели в
предыдущих параграфах, при этом обычное правило дифференцирования d/dqi
заменяется на вариационную производную б/б qix). Отсюда сразу получаем
соответствие
С помощью этого соответствия можно вывести перестановочные соотношения
для континуума. Для этого образуем выражение
и воспользуемся, согласно (10.3), явным видом оператора импульса я{х)\
h д оператор -
(10.1)
[Ри 4v\ = у бщ', [Ри Pi'] ¦= 0, [qi,qv]= 0.
