Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
получить непосредственно из (1.220), подставив в (1.220) вместо U (г)
выражение
(1.208).
Желательно получить (1.230) еще и другим способом. Способ, о котором идет
речь, использует векторное исчис-
Рис. 4. Геометрическое место точек Р является коническим сечением, если
отношение | ОР | к | PR | постоянно. Здесь О - центр силового поля; Р -
положение частицы. Углы PQO, PRS и RSQ - прямые. Вектор В - постоянная
интегрирования уравнения (1.236).
24
ление n, & частности, очень удобен для потенциала 1/г. Уравнение движения
(1.105) в этом случае имеет вид?
шл: = - yf, (1.232)
где мы использовали (1.114) и (1.208). Вспомнив о том, что момент
импульса М, определенный согласно (1.209), представляет собой постоянный
вектор, мы введем еще один вектор Q, определив его следующим образом:
Q = \M, X]. (1.233)
Поскольку вектор Q перпендикулярен вектору Л1, он
лежит в орбитальной плоскости. Если принять во впи| мание 1.209),
постоянство вектора М, уравнение (1.232) и равенство (х ¦ х) = гг,
которое вытекает из тождества гг - (х-х), мы найдем нижеследующее
выражение для производной по времени от Q;
Q = [Л1, х] = - ~ [[х, лг], лJ = - k(у - .г ~) = ~,
или же
Q= - kx0, (1.234)
где через лг0 обозначен единичный вектор, направленный вдоль радиус-
вектора:
х0 = х/г. (1.235)
Уравнение (1.234) можно проинтегрировать; в результате интегрирования
получим:
Q + kx0 = - B, (1.236)
где В - постоянный вектор.
Составив скалярное произведение обеих частей равенства (1.236) на лг0, мы
получим:
-" + ft = - cos (0 - 0О), (1.237)
причем В = \В\\ здесь предполагается, что вектор В образует угол б0
с осью х (в орбитальной плоскости), а вектор лс0 -угол 6 с
той же осью х (сравните (1.211) и
рис. 2). Для получения (1.237) мы воспользовались преобразованием:
(Q ¦ Хо) = (т- • [м, Ц = j (М ¦ [х, *]) = - ^. (1.238)
25
Уравнение (1.237) совпадает с уравнением (1.230), если положить В =
АМ2/т.
Возведем в квадрат обе части равенства (1.236). Поскольку Л1
перпендикулярен х, мы получим, что Q2 равно M2jc2; следовательно,
Мгхг + А2 - = В2, (1.239)
где принято во внимание (1.238).
Уравнение (1.239) можно записать еще и в таком виде;
(В2 - fc2) т
Рис. 5. Возможные траектории частиц с заданным моментом импульса. О -
центр силового поля.
^ - 2
(1.240)
Таким образом, мы получили еще одно выражение для энергии частицы. Из
(1.240) видно, что если k положительно, то знак Е, а значит и характер
траектории, определяется величиной В (если же k отрицательно, Е всегда
положительно, а траектория всегда будет гиперболой). Если B~>k, то
частица может уйти на бесконечность с конечной скоростью; мы имеем дело с
гиперболой (кривая 1 на рис. 5). Мы должны подчеркнуть в этом месте, что
мы получили, конечно, только одну из двух ветвей гиперболы, поскольку г у
нас -существенно положительная величина. Начало координат будет
внутренним фокусом, если А>0, и внешним, если А<0. Если B = k, то
скорость на бесконечности обращается в нуль, а траекторией является
парабола (кривая 2). Если В < А, траекторией будет эллипс (кривая 3).
Наконец, если В = 0, энергия достигает наименьшего значения, совместимого
с заданным значением М, и траектория превращается в окружность.
Воспользовавшись равенством М2А/т = В, которое превращает (1.237) в
(1.230), мы обнаруживаем, что условия В>/г, B = k и В <Ck соответствуют
отношению j OjP I к j PR i в (1.231), большему, равному и меньшему
единицы; это еще раз показывает, что эти условия соответствуют
гиперболическим, параболическим и эллиптическим траекториям
соответственно.
26
Из (1.237) видно, что значение расстояния г для углов 8=0о±я/2, часто
называемое параметром р конического сечения, не зависит от величины В, т.
е. от энергии, а зависит только от момента импульса:
(L241>
Этот факт играл важную роль в выводах старой квантовой теории.
Рассмотрим еще апоцентрическое и перицентрическое значения г (rmax и
/¦пц") для случая эллипса. Они достигаются при Q = 0O + я и 0 = во
соответственно. Мы имеем:
№
' m{k + B) '
М2
(1.242)
max m(k - B)
Большая полуось а удовлетворяет уравнению
2а =" rmi" + rmax = - или ? = - - *-. (1.243)
Выразим теперь эксцентриситет эллипса е и период обращения частицы по
орбите т через величины Е, А и М. Из (1.242) и (1.240) вытекает
соотношение для е:
1/2
(1.244)
rmin В
+ rmln k
2МгЕ
mk2
Мы снова обнаруживаем, что условие Bjk < 1 соответствует условию е<1, т.
е. эллипсу. Условие B = k соответствует е=1, т. е. параболе. Наконец,
условие B/k> 1 соответствует е>1, т. е. гиперболе. Используя равенство г
= В/1г и (1.241), мы можем переписать (1.237) в совсем привычном виде;
1 -f ecos(0-0o). (1.245)
Мы уже убедились в том, что второй закон Кеплера, с одной стороны,
эквивалентен утверждению о том, что момент импульса М - величина
постоянная; с другой стороны, он является просто законом площадей.
Действительно, из (1.214) видно, что М12т - это просто секторная
скорость. Полная площадь эллипса, которую оме-тает за полный период
