Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
же оно консервативно, то функ-
14
ция f, входящая в (1.201), должна зависеть только от расстояния от начала
координат, т. е. от г:
В этом можно убедиться с помощью соотношения (1.114), справедливого для
поля консервативных сил, рассматривая компоненты F. Имеем:
с другой стороны, поскольку должно выполняться условие (1.201), мы
получим в сферических координатах г, 0, ф выражения
Из двух последних равенств следует, что функция U зависит только от г, из
первого равенства мы обнаруживаем, что условие (1.202) будет соблюдено,
если определить U в виде:
Частными примерами задач с центральной силой являются изотропный
гармонический осциллятор и куло-новское или гравитационное поле сил. В
первом случае потенциал дается выражением
Если константа k, входящая в (1.208), положительна, то мы имеем дело с
силой притяжения; если же она отрицательна-с силами отталкивания.
Потенциал (1.208) приводит, конечно, к силе, обратно пропорциональной
квадрату расстояния от начала координат.
F = f (г) X.
(1.202)
(1.204)
из которых следует, что
(1.205)
Г
и (х) = и (г) = - J rf (г) dr. (1.206)
(1.207)
а во втором - уравнением
U = - k!r.
(1.208)
1"
Орбита (траектория) частицы, на которую действует сила вида (1.201),
оказывается плоской, т. е. лежащей в некоторой плоскости. Это видно из
следующих соображений (см. рис. 1). Согласно второму закону Ньютона
ускорение частицы направлено по той же прямой, по которой направлена
действующая на нее сила. Следовательно, как ускорение, так и скорость
частицы - в начальный момент и все остальные моменты времени - будут
оставаться в плоскости, проходящей через начало координат и начальную
скорость частицы. Этот же самый результат можно выразить другими словами:
никогда не может появиться компонента ускорения, перпендикулярная
плоскости, проходящей через начало координат и скорость частицы, так что
частица никогда не выйдет из этой плоскости. Эга плоскость называется
орбитальной.
Можно доказать, что орбита частицы, движущейся в поле центральной силы,
плоская, рассматривая также момент импульса частицы. Момент импульса
частицы относительно начала координат - мы будем обозначать его буквой М
-определяется соотношением
М = [х, р] = [х, тХ]. (1.209)
Иногда величину М называют угловым моментом. Этот термин естественно
возникает при введении обобщенных координат, о которых речь пойдет в
следующей главе.
Производная момента импульса по времени определяется равенством
М = \х, тх]-\-[х, mx] = Q-\-[x, f(x, у, г) х] = 0, (1.210)
причем мы учли в выкладках соотношения (1.105) и (1.201).
Таким образом, мы обнаружили, что для центрального поля вектор М
представляет собой интеграл движения. Поскольку М - это вектор,
фактически мы обнаружили три интеграла движения: три компоненты М. Но
поскольку вектор М постоянен, то из (1.209) ясно, что вектор х всегда
лежит в плоскости, перпендикулярной М, я это и означает, что орбита
частицы плоская.
Рис. 1. Центральное силовое поле. О - центр силового поля; Р - точка, где
находится частица; х - вектор скорости частицы; F-сила, действующая на
частицу.
10
Задача о движении частицы в поле центральной силы ыожет быть,
следовательно, сведена к двумерной (плоской) задаче. Решения исходных
уравнений движения - трех дифференциальных уравнений второго порядка-
должны содержать шесть постоянных интегрирования. За две из них могут
быть выбраны направляющие косинусы вектора М; этими косинусами
определяется нормаль к орбитальной плоскости. В остающейся двумерной
задаче у нас возникают четыре постоянных интегрирования, которые вместе с
дЕумя использованными направляющими косинусами и обеспечивают шесть
необходимых констант движения в исходной задаче. Одной из четырех
оставшихся констант будет, конечно, абсолютная величина век* тора М.
Все то, что говорилось до сих пор, имеет совершенно общий характер и
справедливо также и для сил, не являющихся консервативными. Но если
силовое поле консервативно (а впредь мы будем это всегда предполагать),
то одна из трех последних констант движения -это полная энергия, а две
остальные возникают в результате интегрирования уравнений движения;
эта операция всегда
осуществима в случае центрального консервативного
поля.
Направим ось г декартовой системы координат вдоль сохраняющегося вектора
М, а в плоскости ху введем по лярные координаты гид. Таким образом в
орбитальной плоскости вводится система координат
х = г ('OS 8, ?/ = г sin 0. (1.211)
Уравнения движения, записанные в координатах х, у, имеют вид:
х dU ~ у dU /1
тх =---------г-, ту = - (1.212)
г dr г ar ' 1
где потенциал U задан согласно (1.206), а сила определяется по (1.202).
Если через М обозначить абсолютную величину момента импульса, а через Е -
полную энергию частицы, то в соответствии с (1.209) и (1.117) можно
записать:
М =т(ху - ух), Е= ^ in(x2Jry2) + U (г). (1.213)
Соотношения (1.213) могут быть, конечно, получены и непосредственно
интегрированием (1.212).
