Физика композитных сверхпроводников - Гуревич А.Вл.
Скачать (прямая ссылка):
всем интервале 0<ip< 1, так как поправка 8i к ip, связанная с отброшенным
слагаемым -а2 ip в (5.25), является малой:
5 7 /"
ip 4-у (1 + wm - 0К )2 + Р^к- wm
Оценим характерные значения входящих в (5.27) параметров. Полагая h2 "250
Вт/м2 ¦ К, р= 3 • 1(Г10 Ом • м, А/Р = 1(Г3 м,Тс-Т0=5 К, js =
173
= 109 А/м2, находим: а2 = 240. Так как 45, АТк "*0,6 К, то вк ="0,12, wm
"*1,2 (для образца без тепловой изоляции). Подставляя эти значения в
(5.27), получаем j р = 0,13 js, а ЫЦр "*2 - Ю'2. Таким образом,
распространение нормальной зоны может в данном случае происходить при
токах, существенно меньших критического (1р = 0,13 Is ^ Is). Подобная
ситуация характерна для многих композитных сверхпроводящих материалов
(см., например, [25, 54, 56]).
Рассмотрим теперь более подробно зависимость скорости движения TV-5-
границы от тока. Выражение для v (/) дается формулой (5.18), которая,
однако, не является замкнутой, так как содержит в знаменателе производную
dTldz, зависящую от V. Ситуация существенно упрощается в области | /- /р
| /р, где скорость v (/) мала. Это позволяет найти
dTldz из уравнения (5.16) с v = 0, которое описывает неподвижную /V-S-
границу:
1 тс KdT
2 ~ s/г т sl'2(T) ' (5'28)
Подставляя соотношение к dT/dz = - (2S)1 в (5.18) и разлагая величину
S3(/) вблизи/p, получаем [24]
Э S3
v(j) = (/-/")
/
Э/
т,
[у/2 f vS42dT] , I/ -/pi <ip ¦ (5.29)
ip T0
Скорость v (/') изменяет знак при/ = fp, что отвечает расширению
нормальной зоны при/ >)р (о >0) и ее схлопыванию при/ </р(v <0).
Для произвольных / величина v(j) в общем случае может быть найдена лишь
численно. В этом случае (5.14) заменой переменной s = к dT/dz удобно
преобразовать к виду
ds к
+ - ( Q - W) = -vv. (5.30)
dT s
Решение уравнения (5.30), описывающее движущуюся N- S-границу,
удовлетворяет необходимым граничным условиям s(T0) = s (Тх) =0 лишь при
вполне определенном значении п. На фазовой плоскости Т - s
соответствующая интегральная кривая s(T) является сепаратриссой,
соединяющей точки Т0 и Т3 (жирные кривые на рис. 5.10) [205]. Результаты
численных расчетов скорости i>(/) (см., например, [203, 206]), а также их
сопоставление с экспериментальными данными изображены на рис. 5.8.
Чтобы найти аналитическое выражение для v(f) во всем интервале /,"</ <is,
рассмотрим модель, в которой пренебрегается зависимостью величин h,K , р
и v от Т. Тогда уравнение теплопроводности для температуры в можно
записать в виде
в" +ив'-6 + ш2/-(0, 0 = 0, (5.31)
где r(0,i) = 1 -/ v (0 )//, штрих обозначает дифференцирование по
безразмерной координате z/L, и= v(j)/vh ,vh = L/t h, a
!~Ak vA 1 / к Pi7
?=V- , lh=-"/7=----------------- V-7- • (5-32)
Ph Ph v A
174
Параметры L и th являются соответственно характерными тепловыми длиной и
временем: при / =0 на расстоянии порядка L происходит затухание
температуры от стационарного источника тепла, а за время порядка tf, -
остывание проводника, разогретого импульсным возмушением.
В уравнение (5.31) входит функция г (б, i) =1 ~js(0)/j, которая является
отношением сопротивления образца при данной температуре в к его
сопротивлению в нормальном состоянии (в >1). Обычно рассматриваются две
зависимости r(0,i) от б. В первой из них величина г (в, /') скачком
увеличивается от нуля до единицы при температуре перехода
г(в,1)
о
тп
в D 1-i I в
6
Рис. 5.10. Фазовая плоскость уравнения (5.30) (жирные линии -
интегральные кривые, отвечающие/V - S-границе)
Рис. 5.11. Зависимость г (в,/): °) Для модели со ступенчатым
тепловыделением;
б) для резистивной модели
сверхпроводника в резистивное состояние б,.(г) = [Т, (/') - 7и |/(Тс -
Т0) (рис. 5.11,а). Соответствуюшую модель мы будем называть моделью со
ступенчатым тепловыделением. Другая зависимость г (б./) (рис. 5.1-1,б)
позволяет более последовательно учесть тепловыделение в резистивном
состоянии. В этом случае предполагается, что js (б) линейно уменьшается с
ростом б, тогда 0r = 1 -а функция r(0,i) определяется формулой (5.23) .
Эта модель всюду в дальнейшем будет называться резистивной моделью.
Обе модели предельно упрошают реальную ситуацию, однако, они позволяют
аналитически исследовать основные качественные особенности
распространения нормальной зоны в сверхпроводниках с транспортным током.
Для модели со ступенчатым тепловыделением решение уравнения (5.31),
описывающее движущуюся (V-S-границу в связанной с ней системе координат,
имеет вид:
( 0, ехр(к_ z/L), z>0, (5.33)
^ I а/2 + (б(. - ai1) ехр(А:+ z/L), z<0, (5.34)
и и
к, =------- +V - +1. (5.35)
2 4 v
Из этих формул следует, что при малых скоростях ( I и | ^ Г) ширина JV-
S'-границы порядка тепловой длины L. По мере увеличения I и I
температурный профиль в границе становится более пологим, а при I
v [ >vh
ее ширина линейно возрастает с ростом v.
175
Для оценки величин L,tь, а также характерной тепловой скорости vh =L/th.
положим h =250 Вт/м2 - К, а!Р= 1(Г3 м, к "102 Вт/м -К, v * 103 Дж/м3 • К.
Тогда L 2 см, ^4 • 10"3 с, a vh = 5 м/с.
