Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
270
Глава 4
где
Dh = {(<1,Р) ? К2 | о ^ _р2 + сJ2g2 < 2h}.
Поскольку Н не зависит явно от в, редуцированная система в данном случае
автономна, и несложно построить отображение Пуанкаре. Возьмем сечение
тогда решение системы (4.8.15) с базой q°, р° имеет вид
q (в) = q° cos ( 0) + gp° sin ( g в) ,
р(в) = -S9°sin(S0) +р°со8{Шв)-
Таким образом, мы получаем линейное отображение Пуанкаре
cos(27tO) - sin(27rO) -Osin(27rO) cos(27tO)
(4.8.16)
(4.8.17)
где О = lo\/lo2- Следовательно, единственная неподвижная точка (q,p) = =
(0, 0) является эллиптическим центром, окруженным некоторым семейством
замкнутых кривых, заполненных периодическими точками, если О рационально,
или плотными орбитами, если О иррационально. Эти кривые представляют
собой, очевидно, линии пересечения с Е° семейства двумерных торов,
описанного для этого примера в разделе 1.8, а неподвижная точка (q,p) =
(0,0) соответствует одной из "нормальных мод" данной системы двух
осцилляторов.
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.1. Рассмотрите "нелинейный гармонический" осциллятор с
гамильтонианом Н = ^(Pi + <?i)3^ + \{Р2 + <?!)• Покажите, что
редуцированную систему можно записать в виде
ft = Pi \/р21 + яЪ Pi = -Qiy/Pi +Qi,
откуда сделайте вывод, что отображение Пуанкаре имеет два плотных
множества замкнутых кривых, одно из которых заполнено периодическими
орбитами, другое - плотными орбитами.
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.2. Проведите редукцию модели "маятник-осциллятор" с
гамильтонианом
и/ ^ Pi , ,л ^ , Р2+Ш2Ч2
H(qi,pi,q2,P2) = ~2 + (1 -cosgi) -|------^----
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы.
271
и обсудите соответствующее отображение Пуанкаре. (Мы вернемся к этому
примеру позже в данном разделе.)
Примеры, которые мы обсуждали до сих пор, являются вполне интегрируемыми
в том смысле, что имеется две независимые функции (одна из которых Н),
остающиеся инвариантными относительно потока, определяемого уравнениями
Гамильтона. Для первого из примеров в качестве второй функции можно взять
действие для второго из осцилляторов
при этом решения лежат на двумерных торах, представляющих собой
пересечения поверхностей
Аналогично можно рассмотреть примеры из упражнений 4.8.1-4.8.2. Однако,
как понимали Пуанкаре и Биркгоф, очень немногие системы с двумя степенями
свободы обладают двумя независимыми интегралами, и классическая теория
Гамильтона-Якоби, связанная с отысканием таких интегралов, в большинстве
случаев не срабатывает. Более того, попытки приближенного вычисления
второго интеграла методами усреднения или теории возмущений, а также
путем вычисления нормальной формы в таких случаях не приводят к успеху.
Мы отсылаем читателя к книге Lichtenberg, Lieberman [1982], где
обсуждаются эти методы, ограничиваясь здесь демонстрацией того, как метод
Мельникова в сочетании с редукцией может быть использован для
доказательства несуществования второго (аналитического) интеграла
движения в конкретных примерах. При обсуждении этого метода мы сделаем
также ряд общих наблюдений о свойствах двумерного отображения Пуанкаре
P^S редуцированной системы. В дальнейшем мы будем опускать индексы 1г°,во
и писать P(r)S = Р? или Ро, где индексы свидетельствуют о наличии или
отсутствии возмущения еН1 в нижеследующем уравнении (4.8.20).
Вначале заметим, что Р - сохраняющий площадь диффеоморфизм, так
как
I =(р1+ wfqf )/2w2,
Н = h°, 1 = 1°.
(4.8.18)
д2Ь д2Ь
r)nf)r> Д^2
(4.8.19)
dq2 dqdp
и след матрицы Df тождественно равен нулю. (Сохранение объема, в силу
теоремы Лиувилля, проявляется здесь в сохранении площади при отображении
Р.)
272
Глава 4
Предположим далее, что наш гамильтониан является (малым) возмущением Н?
некоторого интегрируемого гамильтониана Н°. Возьмем для простоты систему
вида
где функция Н1 имеет по в период 2тг, а невозмущенная система H°(q,p, в,
I) = F(q,p) + G(I) непосредственно распадается на две независимые системы
с интегралами F и G (или, что равносильно, /7Г| и I). Как и ранее,
сделаем предположение о невырожденности
конкретнее, П > 0 при I > 0. Отсюда следует, что для малых е уравнение Ие
= F + G + еН1 = h разрешимо относительно I, как и ранее. Однако наличие
Здесь малого параметра ? позволяет нам вычислить обратную функцию L в
уравнении (4.8.7) явно в виде рядов по степеням г. Мы имеем
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.3. Проверьте соотношения (4.8.22).
В силу (4.8.22), редуцированная гамильтонова система принимает вид
Поскольку 771 является 2тг-периодической функцией в, такова же и L1, так
что система (4.8.23) относится именно к тому типу, который изучался в
предыдущем разделе при помощи метода Мельникова.
В частности, допустим (как выше), что некоторая (компактная) область
фазовой плоскости для системы F(q,p) заполнена периодическими орбитами,
периоды которых монотонно изменяются при изменении энергии F. Каждая
такая орбита является множеством уровня для F: F(q,p) = ha,
следовательно, если общая энергия h больше, чем ha, невозмущенная (е = 0)
H?(q, р,в,1)= F(q, р) + G(I) + 6Н1 (q, р, в, I)
