Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
или иных глобальных свойств у / не обязательно свидетельствует о наличии
таких же свойств у Ре. Тем не менее, при определенных условиях глобальные
свойства переносятся:
Теорема 4.4.1. Если отображение Пуанкаре Pq вдоль фазового потока системы
(4.1.2) за время Т, суженное на ограниченную область D С М", обладает
предельным множеством, состоящим лишь из гиперболических неподвижных
точек, причем все пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий
трансверсальны, то соответствующее отображение Пуанкаре Ре \D для (4.1.1)
топологически эквивалентно Pq \d для достаточно малых значений е > 0.
Доказательство. Данный результат является, по существу, следствием из
основной теоремы об усреднении 4.1.1, вытекающим непосредственно из
утверждений (ii) и (iii). В терминах динамических систем этот результат
следует из структурной устойчивости потока (4.1.2) при е > 0. Однако
наивные аргументы здесь не работают, поскольку если положить в (4.1.3) ?
-> 0, то невозмущенная система .г = 0 будет полностью вырожденной.
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика
229
С другой стороны, если промасштабировать время т = et и рассмотреть
уравнение
У' = 7(У) + e/i (у, \, е), (4-4.1)
где у' = dy/dr, мы получим возмущение переменного периода
еТ. Тем
не менее, это не сказывается на оценках Гронуолла, использованных при
доказательстве теоремы 4.1.1, и мы можем получить требуемые результаты
так же, как при доказательстве этой теоремы. ¦
Возвращаясь к примеру уравнения Дуффинга из раздела 4.2, мы можем
использовать критерий Бендиксона для проверки того, что фазовый портрет
системы (4.2.13) не содержит замкнутых петель, т. е. замкнутых орбит и
гомоклинных петель. Мы можем убедиться, что
trDf=^ + ^ = -S<0 (4.4.2)
OU OV
для всех (и, v) € К2. Следовательно, условия теоремы 4.4.1 выполнены, и
Р? топологически эквивалентно Pq для достаточно малых е при условии, что
не находится в точке бифуркации "седло-узел". Отсылаем читателя назад, к
рисунку 4.2.3.
УПРАЖНЕНИЕ 4.4.1. Проверьте, что системы из упражнений 4.2.2-4.2.3 также
удовлетворяют условиям теоремы 4.4.1.
Многие усредненные системы обладают, наряду с неподвижными точками,
периодическими орбитами. Например, мы уже видели, что усредненные
уравнения Ван дер Поля (2.1.14) испытывают бифуркацию Хопфа и что
появляющаяся при этом периодическая орбита затем исчезает, влипая в
сепаратрисы седла. Такая ситуация более деликатна, однако при
определенных условиях периодическая орбита усредненной системы переходит
в инвариантный тор полной системы.
Теорема 4.4.2. Если (4.1.2) имеет гиперболическую периодическую орбиту
уо, то поток расширенной системы (4.1.12) имеет гиперболический
инвариантный тор Т? вблизи 70 х S1. Это равносильно тому, что отображение
Пуанкаре Р? для (4.1.1) имеет инвариантную замкнутую кривую у? вблизи 7о-
Доказательство этой теоремы содержится в Hale [1969]. Нормальная
гиперболичность инвариантного множества 70 х S1 гарантирует его
сохранение при малых ненулевых значениях е (см. Hirsch и др. [1977]).
Заметим, однако, что, в то время как гладкие инвариантные замкнутые
кривые существуют и для Pq, и для Р?, динамика Р? | в общем случае весьма
сложна вследствие резонансных эффектов. Чтобы понять это, изменим масштаб
времени в системе (4.4.1), полагая т = et, тогда возмущения будут иметь
230
Глава 4
период еТ. Если при е = 0 система (4.4.1) имеет орбиту периода т, то при
е -> 0 резонансное соотношение
выполняется счетное число раз. Таким образом, из общей теории отображений
окружности в себя следует, что гладкая замкнутая кривая уе содержит
множество периодических точек, чьи периоды то ~ 1/е зависят от е и
которые возникают и исчезают в счетной последовательности бифуркаций при
е -> 0. Анализ таких резонансных движений связан с аккуратным учетом
малых знаменателей. Отложим дальнейшее обсуждение до главы 6.
Другая и потенциально более серьезная проблема возникает при
интерпретации усредненных уравнений. Если исходная система (4.1.1) имеет
гамильтонову форму с энергией eH(u,v,t,e), то преобразование (4.1.5)
можно выбрать каноническим (Goldstein [1980]), так что преобразованная
система (4.1.3) также будет гамильтоновой. В частности, усредненная
система (4.1.2), очевидно, тоже гамильтонова. Если х <G М2, так что
(4.1.2) является двумерной автономной системой, то ее фазовые кривые
представляют собой линии уровня усредненной функции Гамильтона
Если усредненная система имеет компактную линию уровня, содержащую
седловую точку, то эта линия необходимо является нетрансверсальным
пересечением (фактически, совпадением) устойчивого и неустойчивого
многообразий невозмущенного отображения Пуанкаре, и мы не можем ожидать
ее сохранения после восстановления зависящего от времени слагаемо-
Рассмотрим еще раз уравнение Дуффинга из раздела 4.2 в качестве примера и
положим 8 = 0. Тогда исходная система будет гамильтоновой, причем
непосредственно из (4.2.13) видно, что усредненный гамильтониан таков:
