Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
вырождена. Отметим, что особая структура рассматриваемой системы
позволяет также получить информацию о глобальной структуре фазовых
кривых, которые просто задаются уравнениями Н(х,у) = с = const, или
y = ±y/2(c-V(x)), (1.8.12)
и являются, таким образом, симметричными относительно оси х. Главный
вывод отсюда таков: если на одном уровне энергии, соответствующем двум
максимумам функции V(x), имеются две седловых точки, они обязательно
соединены гетероклинной орбитой1.
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.6. Найдите и классифицируйте неподвижные точки следующих
гамильтоновых систем и сделайте эскиз их фазовых портретов:
(a) х + х - х2 = 0;
(b) х + х2 + х3 =0;
(c) х + sin х = 0;
(d) х + sin х = /3, (3 е (0, 2).
Уравнение (1.8.5) представляет пример другого специального типа систем.
Если А = 0, оно описывает градиентное векторное поле
1 Сепаратрисой. - Прим. ред. перев.
76
Глава 1
со стоком (0, 0) (для ( > 0) и седлами (0, - 2?) и (±\/3?, С). Общую
дискуссию о таких полях можно найти в Hirsch, Smale [1974, стр. 199].
Заметим, что потенциальную функцию V: R2 -> R можно рассматривать как
функцию Ляпунова. Двигаясь по этому пути, можно показать, что минимумам
(соответственно максимумам) функции V отвечают стоки (соответственно
источники) п-мерных систем:
х = - grad V(x), (1.8.14)
с потенциальной функцией V: R(tm) ->¦ R. Действительно, любая критическая
точка V, в которой grad V = 0, должна быть неподвижной точкой системы
(1.8.14), причем седловые точки для V являются, очевидно, сед-ловыми и
для (1.8.14). Далее, пусть H_1(/i) - (гипер-) поверхность уровня функции
V. Тогда, поскольку для любой точки х G V~l{h), в которой grad V(х) Ф 0,
вектор - grad V(х) нормален к поверхности уровня в точке х, фазовые
кривые уравнения (1.8.14) перпендикулярны поверхностям уровня и
пересекают их "сверху вниз", в направлении убывания V.
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.7. Покажите, что неблуждающее множество любого
градиентного векторного поля на R2 содержит только неподвижные точки, а
периодические и гомоклинические орбиты невозможны. (Подсказка:
используйте V(х) как функции "типа Ляпунова" и модифицируйте обычные
аргументы для получения глобальных результатов.)
Упражнение 1.8.8. Сделайте эскиз фазовых портретов уравнения (1.8.5) для
? = 0 и ? > 0, где Л < 0, = 0, > 0. Какие из случаев структурно устойчивы
во множестве всех двумерных векторных полей?
Особые свойства градиентных векторных полей позволили Palis, Smale [1970]
получить важный общий результат для таких систем в п-мерном случае.
Теорема 1.8.3. Градиентные векторные поля, для которых все неподвижные
точки гиперболичны и все пересечения устойчивых и неустойчивых
многообразий трансверсальны, структурно устойчивы.
Для рассмотрения этого результата перенесемся на некоторое время в n-
мерное пространство (п > 2). Проверка гиперболичности не составляет
трудности, но условия трансверсального пересечения требуют некоторого
обсуждения. Как мы увидим в наброске доказательства теоремы Пейксо-то,
сепаратрисы, идущие из седла в седло, типа Гщ = W (pi) П Ws(p2) (см. рис.
1.8.1), могут быть устранены (разрушены) малыми возмущениями и потому
структурно неустойчивы. Предположим, однако, что имеется трехмерная
система с парой седловых точек pi, р2, причем dim Wu(pi) = = dim Ws(p2) =
2. В этом случае многообразия Wu(p\) и ТНДрг) могут пересекаться
трансверсально по некоторой орбите у, так что в любой точке q € 7
линейная оболочка касательных пространств TqWu(pi)
1.8. Двумерные потоки
77
и TqWs(p2) совпадает с R3 (рис. 1.8.4). Если такая трансверсальная ге-
тероклинная орбита существует, то можно показать, что ее нельзя разрушить
произвольно малыми возмущениями, так что она структурно устойчива. Однако
трансверсальные гомоклинные орбиты не могут существовать, так как dim
Wu(p) + dim W8{p) ^ n, а необходимым условием трансвер-сального
пересечения является неравенство dim Wu(p) + dim Ws(p) > n (рис. 1.8.5)1.
Рис. 1.8.5. Нетрансверсальная шмоклиническая орбита в R3.
В двумерном случае сепаратрисы не могут трансверсально пересекаться, так
как седловые точки имеют одномерные устойчивое и неустойчивое
многообразия, и соединительная кривая 7 = Wu(p\) П Ws(p2) необходимо
представляет собой некоторый открытый интервал, на котором Wu(pi) и W8
{р2) совпадают. Следовательно, линейная оболочка к касательным
пространствам в любой точке q ? 7 одномерна (рис. 1.8.3(a)).
1 По этому поводу см., например, [6]. - Прим. ред.
78
Глава 1
Возвращаясь к плоским потокам, вспомним один важный результат,
относящийся к замкнутым орбитам и неподвижным точкам. Он включает в себя
индекс Пуанкаре особой точки. Начнем с общего понятия индекса. Пусть дано
плоское векторное поле. Нарисуем простую замкнутую кривую С, не
содержащую положений равновесия, и рассмотрим ориентацию данного
векторного поля в некоторой точке р = (х, у) € С. При обходе точки р
кривой С против часовой стрелки вектор (f{x,y), д(х,у)) будет непрерывно
вращаться, и при возвращении в исходную позицию он должен повернуться на
