Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
1.6. Асимптотическое поведение
Прежде чем заняться конкретными примерами потоков и отображений,
требуется знакомство с некоторыми дополнительными техническими приемами.
В этом разделе мы определим различные предельные множества, отображающие
асимптотическое поведение определенных классов решений, а в следующем
разделе обсудим отношения эквивалентности. Хотя наши определения довольно
общи, мы концентрируемся в большинстве примеров на двумерных потоках и
отображениях. В разделе 8 будет дан более полный обзор двумерных потоков.
Сначала определим инвариантное множество S для потока или отображения G
как такое подмножество R", для которого
4>t{x) G S (или G(x) е S) для х е S для всех t ? R. (1.6.1)
Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки или
периодической орбиты представляют примеры инвариантных множеств. Однако
более важными для изучения долговременного поведения являются, по-
видимому, неблуждающие множества. Как мы уже видели, неподвижные точки и
замкнутые орбиты важны для изучения динамических систем, так как они
отображают стационарное или повторяющееся поведение. Обобщением этих
множеств является неблуждающее множество Q. Точка р называется
неблуждающей для потока (соответственно, для отображения G), если для
любой окрестности U точки р найдется сколь угодно большое число t
(соответственно, п > 0) такое, что <fit(U) П U ф 0 (соответственно, Gn(U)
П U ф 0). П является множеством всех таких точек р. Таким образом,
неблуждающая точка лежит на или вблизи орбит, возвращающихся в
1.6. Асимптотическое поведение
57
свою заданную окрестность. Неподвижные точки и периодические орбиты
являются, очевидно, неблуждающими множествами. Для гармонического
осциллятора с вязким трением
начало координат (х, х) = (0, 0) - единственная неблуждающая точка, тогда
как для осциллятора в отсутствие трения
заполнена непрерывным семейством периодических орбит.
УПРАЖНЕНИЕ 1.6.1. Найдите неблуждающие множества для следующих потоков и
отображений:
(a) х + е(х2 - 1)х + х - 0 (уравнение Ван дер Поля, е >0).
(b) в - р - sin в, в е S1 (возьмите р < 1, р = 1 и р > 1).
(Задание (d) сложное: попытайтесь найти плотную орбиту; вспомните, что
точки с рациональными координатами периодичны. Ср. с упражнениями 1.4.5-
1.4.6.)
Не все инвариантные множества состоят из блуждающих точек. Например,
линейное отображение
имеет инвариантные (собственные) подпространства, натянутые на векторы
однако все точки р е Es (исключая начало) блуждающие. В свою очередь,
точки q С Ес неблуждающие, так как все они неподвижны.
Так как множество блуждающих точек открыто, О, замкнуто, и оно должно
включать в себя замыкания множеств неподвижных точек и периодических
орбит. В частности, важную роль в дальнейшем будут играть притягивающие
множества и аттракторы. Однако, прежде чем определить аттрактор, мы
должны познакомиться еще с двумя понятиями.
Точка р называется и-пределъной точкой для х, если существуют такие точки
ф^(х), cpt2(x), ... на орбите с базой в х, что ф^(х) -> р и t2 -> оо.
х + ах + х = 0
(1.6.2)
х + х = 0
(1.6.3)
все точки х С R2 будут неблуждающими, так как фазовая плоскость (х, х)
(c) 0 sin 0 - в G S1.
(d) х -> ([2)1,16 Т2 (см. § 1.4).
(1.6.4)
Es = (2,-1)т, Ес = (1,0)т,
58
Глава 1
Точка q называется а-пределъной точкой для х, если существует такая
последовательность, для которой 4>ti{x) -> q и ti -> -оо. Для отображений
G числа ti в этих определениях целые, а- (соответственно, и>-) предельные
множества а(х), и>(х) определяются как множества а- и cj-предельных точек
для х (см. рис. 1.6.1).
Рис. 1.6.1. Примеры а иш предельных множеств. D - открытый круг,
ограниченный внешней периодической орбитой.
Замкнутое инвариантное множество А С R" называется притягивающим
множеством, если существует некоторая окрестность U этого множества
такая, что <pt{x) G U для t > 0 и фь{х) -> А при t -> оо для всех х G U.]
Множество |J 4>t{U) называется областью притяжения множества А (оно,
t^o
конечно, является устойчивым многообразием А.2 Притягивающее множество с
течением времени захватывает все траектории, стартующие в его области
притяжения. Отталкивающее множество определяется аналогично, с заменой t
на -t. Области притяжения несвязных притягивающих множеств необходимо не
пересекаются и разделяются устойчивыми многообразиями непритягивающих
множеств (см. рис. 1.6.2).
Во многих задачах мы в состоянии найти "область захвата", замкнутое
связное множество D С К" такое, что <j>t{D) С D для всех t > 0. Для этого
достаточно показать, что векторное поле во всех точках границы D
направлено вовнутрь. В этом случае мы можем определить соответствующее
1В пятой главе мы несколько ослабим это определение.
23десь термин "многообразие" употреблен неточно: данное множество может
иметь очень сложную структуру, см. ниже главу 5. - Прим. перев.
1.6. Асимптотическое поведение
59
Рис. 1.6.2. Притягивающие области: замкнутой орбиты 7 Y///\ и неподвижной
