Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
модели низких размерностей. Приложения к замкнутым системам жидкостей
также в силе. "Задача Куэтта-Тейлора" Паскаля Госса и Жерар-да Иоосса
(издательство Шпрингер, 1994) содержит хороший пример.
Среди появившихся недавно вводных текстов отметим отметим "Нелинейную
динамику и хаос" Стивена Строгаца (Аддисон Весли, 1994) и "Устойчивость,
неустойчивость и хаос" Пола Глендиннинга (Cambridge University Press,
1994). Классический учебник Андронова, Витта и Хайкина [1966] был
переиздан в 1987 году в виде издания Довер с мягкой обложкой.
Глоссарий
Общематематические термины
Граница', границей дА замкнутого множества А называется множество точек
из А которые не принадлежат внутренности А.
Канторово множество', совершенное множество', канторовым множеством Г
называется замкнутое множество, обладающее следующими свойствами: (1)
наибольшим связным подмножеством Г является точка; (2) любая точка Г
является его предельной точкой.
Ск функция: функция принадлежит классу Ск, если она к раз
дифференцируема.
Замкнутое множество: множество А замкнуто, если оно содержит все свои
предельные точки.
Замыкание: замыканием А множества А называется объединение А и множества
всех его предельных точек.
Коразмерность: коразмерность fc-мерного подмногообразия п-мерного
многообразия равна п - к.
Компактное: множество А является компактным, если любое открытое покрытие
имеет конечное подпокрытие. (Эквивалентно, для подмножеств евклидова
пространства, множество А компактно, если замкнуто и ограничено.)
Компактный носитель: функция /: М" -> К имеет компактный носитель, если
множество точек х, для которых f(x) ф 0, ограничено.
Связное: множество А несвязно если существуют два открытых множества U\ и
U2 такие что: (1) Ui П Uj = 0 при г ф j; (2) Ui С\ А ф 0 при i = 1, 2; и
(3) А С U\ U [/2.
Диффеоморфизм: С^-диффеоморфизмом /: М -> N называется отображение /,
которое является 1 - 1, отображением на, и обладает свойством, что и / и
/-1 являются к раз дифференцируемыми.
Собственный вектор', правый, левый собственный вектор', обобщенный
собственный вектор: собственным вектором (или правым собственным
вектором) v матрицы А размерности п х п называется ненулевой вектор,
удовлетворяющий Av = \v или (А - XI)v = 0 для некоторого Л G С; Л
называется собственным значением v. Левый собственный вектор
удовлетворяет vT( А - XI) = О (Т обозначает транспонирование). Обобщенный
Глоссарий
523
(правый) собственный вектор это вектор, который удовлетворяет
полиномиальному уравнению (А - XI)kv = 0 для некоторого 1 ^ к ф п.
Глобальный', этот термин применяется к свойствам, которые нельзя
исследовать в произвольно малых окрестностях единственной точки.
Гомеоморфизм: Гомеоморфизмом называется С0 диффеоморфизм, т. е.
непрерывное отображение /: М -> N с непрерывным обратным.
Внутренность: Внутренностью A, int А называется наибольшее открытое
множество в А.
Нормальная форма Жордана: нормальной формой Жордана матрицы А размерности
пхп называется матрица В = РАР~Х,Р - обратимая матрица размерности п х п,
в В ненулевые значения входят в виде диагональных блоков
С 1 °\
1
\0 А/
Предельная точка: точка х называется предельной точкой множества А, если
любая окрестность х содержит точку множества А - х.
Локальный: свойство называется локальным если его можно исследовать в
произвольно малой окрестности заданной точки.
Многообразие: n-мерным многообразием М С называется множество, в котором
каждая точка х € М имеет окрестность U, для которой существует гладкое
обратимое отображение (диффеоморфизм) ф: R" ->¦ U (п ф N).
Мера: мерой /г множества А называется счетно-аддитивная неотрицательная
функция, определенная на сг-алгебре подмножеств А.
Метрическое пространство: метрическим пространством А называется
множество с определенной на нем функцией расстояния, которая
удовлетворяет (1) d(x,y) ф 0 и неравенство возможно тогда и только тогда,
когда х = у; (2) d(x, у) = d(y, х); и (3) d(x, у) + d(y, z) ф d(x, z)
(неравенство треугольника).
Окрестность: окрестностью точки х называется множество U, которое
содержит х в своей внутренности.
Открытое множество: множество U в метрическом пространстве называется
открытым, если для каждого х ? U существует е > 0 такое, что d(x, у) < ?
влечет у е U.
Вероятностная мера: мера /г на А называется вероятностной мерой, если
р{А) = 1.
Подмногообразие: подмногообразием М многообразия N называется
подмножество N, которое является многообразием.
524
Глоссарий
Касательное расслоение: касательным расслоением ТМ п-мерного многообразия
М называется 2п-мерное многообразие, несвязное объединение касательных
пространств М. Если U С М - открытое множество и ф: R" ->¦ U
параметризация U, тогда Ф: R" х R" ->¦ ТцМ определяемое как Ф(ж, v) =
(ф(х), Рф(х) ¦ у) является параметризацией TjM.
Трансверсальное пересечение: Два подмногообразия N, Р многообразия М
пересекаются трансверсально в х если TXN и ТХР растягиваются на ТХМ.
Часто используемые обозначения
