Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Д113 и^Ои F(-u, -v) = -F(u, v).
3) f'(u) > л/2 для 0 и f'(u) -> 00 при и -> 0.
4) 0 < ^ < с < 1 для и ф 0 и ^ -> 0 при и -> 0.
OV OV
Образ F в этих координатах изображен на рисунке 5.7.2. Здесь Е+ = = {(и,
v) | и > 0} и Е_ = {(и, v) | и < 0}.
Если не учитывать тот факт, что F не определено на I). то из условий (3)
и (4) следует существование гиперболической структуры. В частности, для
достаточно малых углов а а-секторы с центрами на линиях, параллельных оси
v, окружающие каждую точку, будут удовлетворять условиям Мозера (см.
раздел 5.2). Кроме того, лишь счетное объединение вертикальных прямых на
Е имеют траектории F, оканчивающиеся на D, а все остальные траектории F
остаются внутри Е. Следовательно, любое инвариантное
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
343
Рис. 5.7.2. ?± иГ(Е±).
множество отображения F должно иметь определенную подходящим образом
гиперболическую структуру и быть притягивающим. Точки такого
инвариантного множества можно характеризовать символическими
последовательностями по отношению к разбиению Е_, Е на Е. Тем не менее,
как мы увидим ниже, топология геометрического аттрактора Лоренца
значительно сложнее, чем топология подковы.
Предел функции F(u,v) при и -> +0 или при и -> - 0 не зависит от v,
поскольку dF/dv -> 0. Обозначим lim F(u,v) = (r+,t+)
-it-" - О
и lim^F(M,w) = обращая внимание на обращение "минусов"
и "плюсов" в этих формулах. В силу свойства (4), вертикальная полоска V
из Е, определяемая неравенством г~ ^ и ^ г+, отображается сама в себя,
исключая множество D, где F не определено. Таким образом, траектории всех
точки из внутренности Е в конце концов входят вУ,а затем остаются там
навсегда. Это легко увидеть из графика функции /, см. рисунок 5.7.3.
Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением множества V. Мы
утверждаем, что множество А = р| Fn(V) является аттрактором для отоб-
п^О
ражения F. Ясно, что все точки из V либо стремятся к А, либо имеют
траектории, оканчивающиеся на D, где F не определено. Рассмотрим теперь
некоторую точку х ? А и прямоугольную окрестность U этой точки. Мы
докажем, что образы U плотны в А. Доказательство состоит из двух этапов.
Сначала покажем, что существует п > 0 такое, что одна из компонент Fn(U)
занимает по горизонтали всю ширину множества V. Именно в этом месте
используется гипотеза f > у/2. Пусть 1(1) обозначает длину интервала I и
пусть I С (г_, г+) - некоторый интервал, не содержащий нуля; рассмотрим
/2(/). Поскольку 0 / I, то /(/) связно. Если 0 / f(I), то заме-
344
Глава 5
(а)
(b)
Рис. 5.7.3. Еще один рисунок для отображений F и f: (a) F(V) С V; (Ь)
график/(и).
ним I на /(/), имея в виду соотношение > у/2, и продолжим
итерации. Если 0 ? f{I), то множество /2(1) имеет две компоненты. Хотя бы
одна из этих компонент должна быть длиннее, чем I, так как (/2)' > 2 по
свойству (3) и правилу дифференцирования сложной функции. Кроме того,
поскольку О G /(/), то компоненты /2(/) имеют границы в точках г_ и г+.
Поэтому в случае 0 ? f(I) либо 0 / f2(I), либо /2(/) содержит один из
интервалов (г_,0) или (0, г+). Если (г_,0) или (0, г+) лежит в f2(I), то
/4(1) = (г_,г+). (Заметим, что из условий f > у/2 и /(-и) = -/(и)
следует, что /2(г_) < 0 и /2(г+) > 0.) Если 0 G /(I) и 0 / f2(I), то
заменим I на более длинную компоненту /2(/) и продолжим рассуждения.
Поскольку наш интервал имеет конечную длину, то процесс последовательного
выбора более длинной компоненты образа интервала должен привести на
некотором шаге к равенству /"(/) = (г_, г+).
Упражнение 5.7.1. Постройте на / = [-1,1] кусочно-линейное отображение /,
для которого f < л/2 и существуют подынтервалы J С [-1,1], для которых
fn(J) никогда не покрывает все / (предложено J. Sandefur).
На втором этапе нашего доказательства возьмем произвольную точку s G р|
Fn(V). Затем, для данного е > 0, найдем такую точку в U,
п^О
траектория которой проходит на расстоянии, не далее ? от s. Из свойств
(2) и (4) отображения F следует, что расстояние от Fn(x,y\) до Fn(x,y2)
экспоненциально уменьшается:
d{Fn{x,yl), Fn{x,y2)) < сп\у! - у2
(5.7.1)
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
345
(5.7.2)
для любых (x,yi), (х,г/2) ? Е. Так как s е f| Fn{V), то найдется точ-
ка {и, v) ? Е такая, что Fm(u,v) = s. Возьмем теперь из первой части
доказательства (касающейся расширения) числа гг, го и точку {х,у) е U
такие, что Fn(x,y) = (u,w). Тогда получим, что Fm+n находится от точки
Fm(u,v) = s на расстоянии, не большем е > 0. Это доказывает, что
траектории, начинающиеся на U, образуют в А плотное множество.
Упражнение 5.7.2. Покажите, что в А имеется плотная орбита.
Мы приходим к выводу, что А - аттрактор. Все точки из V приближаются к А
с некоторой экспоненциальной скоростью (с равномерными оценками для
границ). Так же, как для подковы, те точки множества А, траектории
которых не пересекают D, можно охарактеризовать символическими
последовательностями а = {aj}^_00 посредством разбиения V - D на две
