Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
примеров теоремы о структурной устойчивости.
Ф ° (/|л) =егоф.
(5.1.5)
/"|а = ф~1оапоф,
(5.1.6)
294
Глава 5
Мы можем суммировать результаты данного раздела в следующем утверждении:
Теорема 5.1.2. Отображение подковы / обладает инвариантным канторовым
множеством А таким, что
(a) Л содержит счетное множество периодических орбит сколь угодно
большого периода',
(b) Л содержит несчетное множество ограниченных непериодических орбит',
(c) А содержит плотную орбиту.
Кроме того, любое С1 -близкое к / отображение / обладает инвариантным
канторовым множеством А, причем /|д топологически эквивалентно /д.
Вопрос о нелинейных отображениях, обладающих подковами, поднимается в
следующем разделе.
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
Описанный выше пример подковы Смейла служит хорошей основой для понимания
того, как орбиты отображений и, следовательно, дифференциальных
уравнений, могут быть хаотичными. Далее в этой главе описана общая теория
динамических систем, удовлетворяющих "аксиоме А", базирующейся на этом
примере. Понятие структурной устойчивости делает такое обобщение очень
естественным, однако класс систем, удовлетворяющих аксиоме А, не
охватывает примеры, описанные в главе 2. Существует много неразрешенных
вопросов, касающихся деталей поведения систем в этих примерах, поэтому к
концу главы, где мы обсудим приложение к ним развиваемой здесь теории,
наше изложение будет больше опираться на эксперименты. В частности,
представляет интерес вопрос, при каких условиях "типичная" траектория
проявляет хаотические динамические свойства, присущие подкове. Нашей
целью является описание известных результатов, наблюдений и гипотез, и мы
приводим доказательства лишь тех результатов, которые, по нашему мнению,
освещают суть дела.
Вначале необходимо дать несколько топологических определений. Подкова Л,
описанная в разделе 5.1, имеет довольно сложную топологическую структуру,
однако ее нельзя далее разложить на замкнутые инвариантные подмножества,
так как существуют орбиты, плотные в Л. Мы хотим сфокусировать внимание
на подобных множествах, содержащих в себе наиболее интересную информацию
о динамике потока. Если ф является дискретным или непрерывным потоком, то
фундаментальным свойством всех рассматриваемых множеств является их
инвариантность. (Напомним, что множество S инвариантно, если 0t(5) = S
для всех t - см. раздел 1.6.) Существуют различные типы инвариантных
множеств, наиболее интересные для
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
295
нас состоят из асимптотических предельных множеств для точек. Вновь будем
считать, что фг - непрерывный или дискретный поток. Напомним определение
из раздела 1.6:
Определение 5.2.1. a-предельным множеством для точки х по отношению к
потоку называется множество предельных точек для фг{х), t -> -оо. uj-
пределъным множеством для точки х по отношению к потоку фг называется
множество предельных точек для фг(х), t => оо. а-и w-пределы точки х
являются асимптотически предельными множествами (у является предельной
точкой для ф^х) при t -> оо, если существует такая последовательность ф -
а- оо, что фг^х) -а- у).
Упражнение 5.2.1. Пусть ^ - поток системы
г = г(1 - г2),
0 = 1,
записанной в полярных координатах, а точка х 0 лежит внутри единичного
круга. Покажите, что для точки а: а- и w-предельными множествами являются
точка 0 и единичный круг соответственно.
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.2. Покажите, что а- и w-предельные множества для точки х
относительно потока фг инвариантны.
Мы хотим рассмотреть все w-предельные множества системы, так как они
содержат ее асимптотическое поведение при t ->• оо, однако более
плодотворными показали себя другие способы различения предельных
множеств. Большая часть литературы по теории динамических систем
оперирует понятием неблуждающих множеств для потока, которое мы также
напомним:
Определение 5.2.2. Точка х называется неблуждающей для фи если для любой
окрестности U точки х и любого Т > 0 существует такое t > Т, что фг(и)пи
0. Множество неблуждающих точек для фг обозначается П.
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.3. Покажите, что П является замкнутым множеством.
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.4. Покажите, что множество всех w-предельных точек для ф
является неблуждающим.
Данное определение неблуждающего множества воплощает очень слабое понятие
возвращения. Тем не менее, существует еще более слабый тип возвращения,
называемой цепным возвращением, полезный при обсуждении структурной
устойчивости.
Определение 5.2.3. Точка х называется цепно-возвратной (рекуррентной),
если для любого ? > 0 существуют такие точки х = xq, xi, . .., хп = = х и
моменты ti, ..., tn ^ 1, что расстояния от фг1 (х*_i) до Xi меньше е.
Множество цепно-возвратных точек фг обозначается Г.
296
Глава 5
Рис. 5.2.1. (а) Блуждающие и неблуждающие точки потока; (Ь) цепно-
возвратная точка.
Понятия неблуждающих и цепно-возвратных точек проиллюстрированы на
рисунке 5.2.1. Полезность цепно-возвратных множеств подчеркивалась в
