Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
следующей главе мы их получим
методами, которые, возможно, являются более строгими. Эти же результаты
можно получить, рассматривая дзета-функции, как и было сделано для е(r) в
разд. 2.3.1.
3.3. Глобальные свойства мировой поверхности струны
До сих пор, обсуждая бозонную струну, мы пользовались тем фактом, что
всегда с помощью репараметризационной инвариантности и вейлевского
изменения масштаба можно привести метрику мировой поверхности к любой
наперед заданной форме. Действительно, преобразования репараметризации
зависят от двух, а преобразование вейлевского изменения масштаба-- от
одной произвольной функции; поэтому этих калибровочных преобразований
достаточно, чтобы занулить три независимые компоненты метрики мировой
поверхности. Такой простой
3.3. Глобальные свойства мировой поверхности струны
181
подсчет степеней свободы нас до сих пор вполне устраивал, но при более
глубоком изучении теории важную роль играют глобальные свойства мировой
поверхности. В данном разделе приводится элементарное описание некоторых
из них.
Мы сосредоточим внимание главным образом на теории ориентированных
замкнутых струн. В этом случае анализ выглядит наиболее элегантным.
Мировой поверхностью л-петлевой диаграммы замкнутой струны, вроде той,
что изображена на рис. 3.2, является сфера с п ручками. Древесные
диаграммы
Рис. 3.2. Диаграммы мировой поверхности в теории замкнутых
ориентированных струн: (а) древесная, (Ь) однопетлевая, (с)
многопетлевая.
соответствуют мировой поверхности, не имеющей ручек и топологически
эквивалентной обычной сфере, как на рис. 3.2, а, тогда как однопетлевые
диаграммы соответствуют тору, изображенному на рис. 3.2, Ь, многопетлевые
диаграммы приводят к поверхности с п ручками, изображенной на рис. 3.2,
с. Сфера с п ручками известна как риманова поверхность рода п.
Для древесных диаграмм (в случае поверхностей рода 0) можно пользоваться
теоремой Римана, утверждающей, что с помощью диффеоморфизма и вейлевского
изменения масштаба можно метрику глобально привести к стандартной форме.
Пусть, скажем, ho-метрика на сфере S, тогда любая другая метрика с
точностью до диффеоморфизма имеет вид h = e^h0. Хотя этой теореме более
века, на самом деле ее простое и полное доказательство отсутствует1).
Мы говорим, что две метрики на римановой поверхности конформно
эквивалентны, если они связаны друг с другом репараметризацией и
вейлевским изменением масштаба. Теорема Римана гласит, что любые две
метрики на S2 конформно эквивалентны.
Обратимся теперь к однопетлевому случаю, т. е. рассмотрим поверхность
рода 1. Здесь жизнь намного интереснее. Поверх-
*) Демонстрируя отсутствие антидуховых нулевых мод, можно, как мы увидим,
показать, что метрика, полученная произвольной инфинитезимальной
деформацией стандартной метрики, связана с ней диффеоморфизмом и
вейлевским изменением масштаба, однако намного труднее доказать, что это>
справедливо для тех деформаций метрики, которые не обязательно являются;
инфинитезимальными.
182
3. Современное ковариантное квантование
ность рода 1 является обычным тором. Утверждение о том, что любые две
метрики глобально эквивалентны с точностью до диффеоморфизма плюс
вейлевского изменения масштаба, на торе уже несправедливо. Два тора,
схематически изображенные
Рис. 3.3. Два конформно-неэквивалентных тора.
да рис. 3.3, не могут быть связаны такими преобразованиями. Чтобы описать
это различие аналитически (а не эвристически), заметим, что тор может
быть построен следующим образом. Рассмотрим комплексную плоскость г и
возьмем на ней два комплексных числа A,i и Ъ2, такие, что число
х = К2/Х1 (3.3.1)
не является вещественным1). Поменяв при необходимости A,i и К2 местами,
можно считать, что 1шт > 0, так что т определяет точку в верхней
полуплоскости. Затем определим тор, осуществляя идентификацию
z ^ z -f- -f- tnX2 (3.3.2)
для произвольных целых пит, как показано на рис. 3.4. Этот тор наследует
плоскую метрику z плоскости, и мы хотим знать,
Рис. 3.4. Тор может быть построен идентификацией одинаково помеченных
отрезков прямых на комплексной Z-плоскости.
эквивалентны ли относительно диффеоморфизмов плюс вейлевских изменений
масштаба торы, определенные при различных значениях величин A,i и Х2-
Совершенно очевидно, что только отношение т = К2/К\ может быть
инвариантным относительно диффеоморфизма плюс
*) Обозначение т для указанного отношения является общепринятым, и мы
сохраним его, надеясь, что читатель не будет путать параметр т,
определенный в (3.3.1), с координатой на мировой поверхности струны.
3.3. Глобальные свойства мировой поверхности струны
18$
вейлевского изменения масштаба, что обычно называется конформной
инвариантностью. Действительно, комплексная растяжка переменной
где k - комплексное отличное от нуля число, меняет метрику тора только на
константу \k\2, которую можно включить в конформное изменение масштаба.
Преобразование (3.3.3) растягивает величины А,1 и %2, оставляя их
