Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
интеграл по Dср можно отбросить, и исследуем получившуюся теорию,
содержащую духи. Сначала мы показываем, что именно в 26-мерии с-числовые
аномалии в алгебре Вирасоро сокращаются, если учесть вклад духов. Затем в
разд. 3.2.3 мы демонстрируем, что это эквивалентно отсутствию
взаимодействия для поля ср в 26-мерном случае. Интересно, что интеграл
(3.1.13) физически осмыслен, даже если зависимость от ф не пропадает.
Этой возможностью мотивировались некоторые очень остроумные предложения,
но она так и осталась до конца невыясненной. Во всяком случае, для
суперструнного объ-
*) Интегралы по антикоммутирующим (грассмановым) координатам, называемые
интегралами Березина, обсуждаются в разд. 1.2.
3.1. Ковариантное квантование
147
единения выбор критической размерности, в которой зависимости от ф нет,
является более предпочтительным, так как большинство предложений выйти за
рамки критической размерности приводит, по-видимому, к потере безмассовых
частиц, присутствующих в критической размерности. В этой книге мы не
будем заниматься анализом теории струн в пространстве некритической
размерности.
3.1.2. Комплексное тензорное исчисление на мировой поверхности
Прежде чем попытаться понять теорию с духами, полезно вывести формулы
римановой геометрии с двумерной метрикой, взятой в конформном виде: haр =
е^Цар- Удобно, хотя и не обязательно, воспользоваться в настоящем
обсуждении языком евклидовой теории, рассматривая мировую поверхность
струны с метрикой евклидовой сигнатуры. Переход от формул с евклидовой
сигнатурой к формулам с сигнатурой Минковского и наоборот очевиден. Хотя
для целей, преследуемых нами в настоящий момент, это в действительности
несущественно, похоже, что евклидова картина важна в некоторых дальнейших
разработках, так как она приводит к теории римановых поверхностей и
комплексному анализу. Более глубокое изложение математических основ
такого подхода будет дано в гл. 15.
На мировой поверхности, метрика которой (по крайней мере локально) взята
в виде ds2 = еч (do2dx2), естественно ввести комплексную координату z =
x-\-ia и сопряженную к ней координату ? = т - кг. Используя мировую
поверхность с метрикой Минковского, мы ранее уже обращались к
переменным z и z,
обозначая их о±- В системе координат z, г компонентами век-
тора являются
^±=^oi^i' (3.1.14)
Далее, компоненты градиента д/доа имеют теперь следующий вид:
a.=-H-?-=f (-?-). (ЗМ5)
Компонентами метрического тензора являются /i++ = /i__ = О и h+- =h-+
=~еч>. Элемент инвариантной длины дается выражением
ds2 = ev dzdz, (3.1.16)
148
3. Современное ковариантное квантование
а поднятие и опускание индексов осуществляется в соответствии с правилом
Замена координат z-+-z' = f(z), где f - голоморфная функция от z,
сохраняет конформно плоский вид метрики. Она просто приводит к переходу
где р = е1?. В общем случае тензор с пи верхними и щ нижними голоморфными
индексами и пи верхними и щ нижними антиго-ломорфными индексами
преобразуется в соответствии с правилом
Величины tii - пи (т - пи) называются голоморфной (анти-голоморфной)
конформной размерностью тензора t. Прилагательные "голоморфная" и
"антиголоморфная" обычно могут опускаться, что не приводит к какой-либо
путанице.
Определим ковариантные производные тензоров, используя обычным образом
связность Кристоффеля
Тензор римановой кривизны традиционно определяется как
Отличными от нуля компонентами связности Кристоффеля для конформно
плоской метрики являются только
Поэтому, например, для тензора с п верхними или нижними индексами "+"
имеем
(3.1.17>
(3.1.18>
Р
(3.1.19)
(3.1.20)
Г2р = ~ hy& (dah^ + дрЛав - d6h4). (3.1.21)
Rhр = - (Р - р).
(3.1.22)
Г++ - д+Ф, Г1_ = <3_ф.
(3.1.23)
(3.1.24)
V_/++-+ =а_/++-+, v+/++- + = (a+ + л(3+ф) /++- +.
(3.1.25)
(3.1.26)
(3.1.27)
(3.1.28)
3.1. Ковариантное квантование
149
Отсюда следует, что
[V_, V+]f++." + = [d_, d+-nd+logp]t++'"+ =
= -n(d+d_logp)t++ + =
= np№++...+. (3.1.29)
Из этих равенств мы выводим формулу двумерной скалярной кривизны для
конформно плоской метрики:
(3.1.30)
Рассмотрим теперь действие Фаддеева - Попова для духов и антидухов с и Ь,
которые были введены в предыдущем разделе. Запишем это действие в виде,
который имеет смысл для любой метрики мировой поверхности, не обязательно
взятой в конформной калибровке. Духовые поля с+ и с~ могут
интерпретироваться как компоненты векторного поля с". Антидуховые поля
6++ и b- могут интерпретироваться как компоненты симметричного
бесследового тензора Ьар. (И наоборот, симметричный тензор общего вида
имеет компоненты b++, b- и Ь+~, но Ь+-обращается в нуль для бесследового
симметричного тензора.) Действие духов может быть теперь записано в виде
5в = - аИ "Рог V/Г AaPcvV"6pv, (3.1.31)
где духовое поле с" является контравариантным вектором, а ан-тидуховое
поле 6ар является ковариантным симметрическим бесследовым тензором.
Духовые поля бис являются антикоммутирующими (т. е. грассмановыми)
