Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
-sin -sm-^-
• v, (l г) = -f [(2? - Q2)2 sin if - cos
]•
2A
(2.7)
яаг
2ft
+
+ 4?2a|J sin -4г- cos
яа
~Y
ярг 2ft
Формулы (2.5) и (2.7) показывают, что все характеристики волнового поля
являются результатом сложения бесконечного чивла волн. В такой
суперпозиции принимает участие конечное чивло (N + М) нормальных волн,
соответствующих вещественным ? = = ?" и чисто мнимым ? = ir\m корням
дисперсионного уравнения, и бесконечное число пар волн, соответствующих
комплексным корням^ и - ?р.
Выражения для некоторых характеристик волнового поля в области | х | а
приведены в следующем параграфе при рассмотрении энергетических
соотношений.
Рассмотрение второй задачи о возбуждении полубесконечного волновода
нагрузкой н#* торце также проведем для случая симметричного относительно
плоскости г = 0 типа движений.
При силовом возбуждении система граничных условий имеет
вид
2 G
°х = f (z),
2 G
T,2 = g(z), х = О,
2G
I 1 А ,
О г = -gg- = °, г = ± А,
(2.8)
f(- z)==f(z), g(- z)=s - g(z). Как и ранее, множитель ехр (-Ш) всюду
опущен.
249
(2.9)
Возможно также кинематическое возбуждение волновода, когда на торце
заданы смещения. Однако в настоящее время решения задач такого типа
отсутствуют.
При построении решения задачи (2.8) также целесообразно использовать один
из двух подходов, описанных в главе 5 при изучении колебаний тел конечных
размеров. При первом подходе, основанном на методе суперпозиции, исходят
из требования полноты систем функций для выполнения неоднородных
граничных условий как на торце, так и на боковых поверхностях. При этом
можно непосредственно использовать представления (2.2) главы 5. Заменяя в
них ряд интегралом Фурье, получаем следующие выражения для компонентов
вектора смещений:
их (х, г) = Л0 ехр (ikxx) -
оо
- ? [Ап ехр (- рхх) + вп ехр (- р^х)] cos a"z -
оо
- j [с (т) ch qxz + D (т) ch ^z j sin xxdx,
о
ut (x, г) = - Yi [An -ff- exp (- pxx) + Bn-^~ exp (- />*х)] X
OO
X sin a"2 -f j [С (t) sh qxz -f D (т) sh q^z] cos xxdx.
" ПЛ , a> 2 2 ,2 2 9 <2 tin
Здесь a"=-?-; h~ Pi - an - kr, qi=x!l - kr, 1= 1,2.
При вычислении pt и pz следует выбирать те значения корней, которые
обеспечивают слагаемым в (2.9) вид уходящих на бесконечность или
экспоненциально убывающих с ростом х волн.
В представлении компонент вектора смещений в рамках метода однородных
решений непосредственно используются выражения'
(2.5). Если ввести бесконечную последовательность комплексных
произвольных постоянных А у, то искомое решение можно представить в виде
N _ Ъ и (х, г) = 2 Апи (!", z) ехр {i?nx) +
П*=1
со
+ ? Amu(irjmz) ехр (-rw*)+ S [Apu{lp, z)txp{i^px)-\-
т=ЛЧ-1 p=JV-f-M+l
+ ApU* (lp, z) exp (iZpX)*). (2.10)
Входящие сюда функции координаты z определяются равенствами
(2.6).
Конструкция выражений (2.10) отражает тот факт, что поле в
полубесконечном волноводе составляется из однородных и неод-
250
нородных волн, каждая из которых удовлетворяет нулевым граничным условиям
на поверхностях г = ±h. Это приводит к тому, что выражение (2.10)
изменяется с изменением частоты Q. Именно частотой определяется
количество распространяющихся (N) и чисто экспоненциально убывающих
неоднородных (М) волн. Напротив, решение в виде (2.9) как бы сохраняет
форму при произвольном значении Q. В процессе изменения Q происходит
переход от действительных к чисто мнимым значениям ри однако
соответствующие слагаемые не представляют нормальных распространяющихся
волн в слое со свободными границами. Это и обусловливает целый ряд
трудностей, возникающих при использовании решения (2.9).
Общие представления вектора смещений (2.9) и (2.10) при удовлетворении
граничных условий (2.8) приводят к бесконечным системам. При
использовании решения (2.9) такая система имеет вид
д ik J ~v______________С _*W_ dx - f •
_ 2v 2 (1 - 2v) hn J xtg2 ax -
0
+ -Щь-U (2.Щ
__ A v^i-я
1- 2v
Щ\
где 6 (x) - дельта-функция и, кроме того, принято
А , , (<+рЬ* а , ч (T2 + <7i)' t
Д* (р) = Р2------^2^-; Л (<?) = ft cth qji __cth qjv,
д =_д an + P% . C( D( t2 + ?2 sh^
A" 2a" ' L <X> " 2t2 sh
Уп = (- 1)" б"; x И) = HD (t) sh ft/i;
00
f (z) = ? 1" 1)" tn cos oc"2; g (г) s= 0.
(2.12)
n*=0
Вид системы (2.11) наглядно показывает специфичность ситуации, с которой
мы постоянно встречаемся при рассмотрении волноводных задач. Получаемые с
помощью интегральных преобразований решения носят формальный характер.
Формальный характер выражений (2.9) заключается в том, что коэффициенты
системы (2.11) имеют особенности. Это не позволяет указать алгоритмы ее
численного решения в общем случае. Однако в некоторых частных случаях,
как будет показано в § 5 данной главы, использование этой системы может
оказаться полезным.
251
Применение решения (2.10) приводит к более простой ситуации. После
вычисления напряжений и их подстановки в граничные условия получаем два
функциональных уравнения на отрезке | г | ^ h для определения комплексных
коэффициентов Ат В общем случае эта система может быть записана в виде
