Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Смещения частиц цилиндра для данной моды имеют вид
"э = В0г ехр [г (уг - со/)]. (9.5)
Для всех остальных корней Рр (р = 1, 2, ...) уравнения (9.4)
соответствующие моды обладают дисперсией. При этом частота и постоянная
распространения связаны соотношением
& = Рр + У2, (9.6)
имеющим тот же вид, что и уравнение (1.6) для SH-волн. Уравнение
(9.6) описывает явление дисперсии, характерной для большого числа
волновых процессов различной природы, и подробно обсуждалось как типичное
в работе [277]. Как и в изученном выше случае, каждому значению частоты
соответствует конечное число вещественных значений у (бегущие волны) и
бесконечное число чисто мнимых
148
Y (неоднородные волны). Набор полученных при этом решений позволяет легко
выполнить произвольные граничные условия для единственного отличного от
нуля компонента напряжений тг9 на торце полубесконечного волновода. При
этом мы приходим к разложению произвольной функции радиуса в ряд по
системе функций Ух (А,/), где - корни уравнения J[ (К) = 0.
Справедливость таких разложений обосновывается, например, в работе [34].
Неоднородные волны с комплексными значениями у в случае крутильных
движений отсутствуют. Это утверждение можно доказать с помощью формальных
выкладок, однако интересно отметить, что с физической точки зрения
полнота системы функций, соответствующих вещественным и чисто мнимым
постоянным распространения, является достаточным основанием для
высказывания такого утверждения. С этой точки зрения утверждение авторов
работы [224] о существовании комплексных корней уравнения (9.4) является
необоснованным.
Поведение продольных осесимметричных волн описывается дисперсионным
уравнением (9.3). Вектор смещений для них в соответствии с (9.1) имеет
вид
ц, = В -2- [(2~f - Q2) J, (р) (аг) - 2уЧ, (а) Jг (Рг)] х У
X ехр [г (уг - со/)], иг=*В [{2f - Q2) Jx (Р) J0 (аг) + 2арУх (а) У0
(Рг)] X X ехр [г (уг - со/)].
Если в уравнении (9.3) устремить величину у к нулю, считая Q конечным, то
получим равенство
О / П \ 1
= 0. (9.8)
Это уравнение определяет два независимых семейства частот запирания для
дисперсионных ветвей. Первая ветвь имеет нулевую частоту запирания Q = 0.
Как и для слоя, частоты первого семейства, определяемые уравнением
Л(й) = 0, (9.9)
не зависят от коэффициента Пуассона v. Соответствующие выражения для
смещений на частотах запирания получаем из (9.7), учитывая (9.9) и
полагая у - 0:
иг = 0, uz = AJ0(Qr). (9.10)
Движение частиц цилиндра в этом случае является продольно-сдвиговым,
поскольку величина иг при Q, соответствующем (9.9), всегда имеет
противофазные участки.
Второе уравнение из (9.8)
QJ°(ir)-T/i(ir)'m0 (9Л1>
149
определяет частоты запирания, зависящие от v. Специфика соответствующих
мод определяется следующим видом смещений:
"" = бА ("Г г) • "* = 0-
(9.12)
Движение в этих модах на частотах запирания является чисто радиальным.
С увеличением постоянной распространения у характер движения частиц в
обоих семействах мод изменяется. В каждом из них теперь будут как
сдвиговые, так и радиальные смещения.
На рис. 52 представлены рассчитанные в работе [2771 зависимости частот
запирания второго семейства (сплошные линии) от величины v. Штриховыми
линиями отмечены значения частот запирания первого семейства. Видно, что,
как и в случае слоя, структура спектра чувствительна к изменению v. Здесь
также меняются местами частоты запирания радиальных и продольно-сдвиговых
мод.
При изучении системы вещественных и чисто мнимых корней уравнения (9.3)
оказывается возможным построить такую же сетку, как и в случае уравнения
Рэлея - Лэмба (3.1).
Семейство кривых
Й2 = ? + фт> Q2 = &2 (? + фп) (9.13)
образует одну систему границ решетки, если фт и ф" - ненулевые корни
уравнения
А (Ф) = 0. (9.14)
Вторая система границ решетки образуется семействами кривых
й2 = у2 + фт, Па = &2 (у2 + од), (9.15)
где фт - ненулевые корни уравнения
ФА (Ф) = А (Ф),
а о"- ненулевые корни уравнения
2aiJ1(а)
оJ0 (о) - -
(9.16)
(9.17)
у2 (?2 - 2) + k2a2
Уравнения границ решетки в этом случае более сложные (в частности,
уравнение (9.17) само содержит величину у), чем соответствующие уравнения
для слоя. Однако качественных трудностей в интерпретации и использовании
решетки здесь не возникает. При этом картина спектра подобна
представленной на рис. 39 для про-
150
дольных мод в слое. Для полного определения дисперсионных ветвей во всем
диапазоне частот О ^ й ^ оо необходимо учесть комплексные корни. Их
поведе- д ние также аналогично поведению комплексных корней в слу- 7 чае
слоя. В частности, комплексные участки ветвей выходят на 6 вещественную и
мнимую плоскости у в точках относительного 5 экстремума. Подробности
качественного исследования спектра 4 для осесимметричных нормальных мод
содержатся в работе [109]. Структуру спектра при v = 0,31 достаточно
полно отра- 2 жает рис. 53, взятый из этой работы. Все величины на рис.
53 1 отнесены к значению 6 =3,8317- наименьшему ненулевому корню д
