Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Угловую зависимость вероятности перехода р1} удобно выразить с помощью четырех углов Ф, ср, ?, (рис. 60).
Первые два угла определяют ориентацию некоторого фиксированного вектора Dm;, ? — угол между матричными элементами D и И Dm;. Угол т]г;- дает положение D;; на поверхности конуса, осью которого служит вектор Dm(.
При изотропном распределении число частиц, векторы Dm( которых лежат в пределах Оч-й d$, Ф -г- Ф + йц>, а векторы
— в интервале от до т]0.
dQ, dr\i}
4я
2я
п —
8я2
dx\iS, равно ti sin $dftdtydr{ij.
Эти частицы находятся в тождественных условиях по отношению к возбуждающему свету. Все вероятности переходов у них одинаковы, поэтому функция распределения при стационар-
213
ном рёжиме облучения удовлетворяет следующей системе
уравнений:
N N
«I (fi) 2 Pu-'LnjPji = 0 (i = 1, 2, 3, ... , N, i Ф j). (13.6)
/=i /=i
Числа tii рассчитаны на единичный телесный угол cLQ и единицу угла rjij. Так как общее число частиц неизменно, а их
повороты отсутствуют, то справедливо равенство
S»iW-sr»- <13-7>
/= 1
Следовательно, из N уравнений системы (13.6) линейно независимых будет только N—1.
Подставляя произвольное, но фиксированное nh из (13.7) в (13.6) и отбрасывая k-e уравнение, находим
=~8^ пс> {iф к)' (13-8)
где введены обозначения
% = Phi — Pn (/' Ф О'- о» = Рм +21 Ра' ci = Phi- (13-9)
/
Решение системы линейных уравнений (13.8), как известно, имеет вид
л,(Й) = -5— A. (i^k), nh(Q)=-^— (l--------------- V D,
8jt2 D У ’ кУ ; 8я2 I D JLk
n D. ,. , ,, n 1, 1
\фк
(13.10)
где D — определитель системы (13.8). Определители ?>,• получаются из D заменой соответствующего столбца на столбец, составленный из коэффициентов Cj. Порядок определителей равен N—1, так как отсутствует k-я строка и k-й столбец.
Распределение частиц по энергетическим уровням подчиняется некоторым общим закономерностям, которые можно исследовать с помощью формул (13.10). В работе [414] (см. также [87]) показано, что если внешнее излучение частоты r.w индуцирует переходы только между уровнями т, I, то населенности этих уровней можно представить в виде
п (й)= -Л- Dm(“ml = °)+ ЬтР?т = _J_
8я2 D (uml = 0) 4- &mlPml 8л2
X Пт ^Unil = ^)г hmPt™ J
214
Dl(uml = 0) + \p^
8jl2 D(uml = 0) + Amlpsml
1 nl (Uml = + IjnlPml
8л;2 1 + amlPSml
(13.12)
причем llm = lml. Через nm (uml =0) и щ (uml = 0) обозначено значение населенностей m-го и l-то уровней при отсутствии возбуждения в одной исследуемой частоте <oml. В частном случае, когда все ии = 0, пт (ит1 = 0) и п, («т, = 0) даются формулой Больцмана. Параметры
*mi = hm = .... ., aml = - Ant; (13.13)
зависят от всех вероятностей переходов, от всех ии, но не зависят ОТ uml (PSJ-
В системе с N уровнями энергии может быть не более N(N—1) вероятностей переходов рц. Если ни одно из рц не равно нулю, то определитель D содержит NJV_1 слагаемых, каждое из которых будет произведением N—1 вероятностей. Для больших N функция распределения имеет громоздкий вид. Ее можно несколько упростить, если с самого начала приравнять нулю все вероятности переходов, которые не играют существенной роли в изучаемых процессах.
Параметры нелинейности. Формулы (13.11) и (13.12) позволяют сделать некоторые общие выводы, справедливые для всех систем с дискретными уровнями энергии (кроме гармонического осциллятора и систем, у которых радиация заданной частоты индуцирует переходы между несколькими парами уровней *)).
Если o.mluml < 1, то изменения населенностей уровней под действием света плотности ит1 происходят по линейному закону. При
nmlml-^PStJPml-^SmlSl ИЛИ — ~ »
ёгп Si
где gm и gt — статистические веса m-го и /-го уровней. С ростом накачки разность населенности уровней уменьшается, а при равных статистических весах стремится к нулю.
Формулы (13.11) и (13.12) позволяют рассчитать мощность и коэффициент поглощения, вынужденный дихроизм, мощность и поляризацию люминесценции, порог и мощность
*> В этом случае определители будут зависеть не только от umi, но и от °т/и т- д ’ а формулы (13.11) и (13.12) ие применимы.
215
генерации, если частицы находятся в резонаторе. Во все перечисленные характеристики войдет параметр ати величина которого определяет уровень накачки, необходимый для наступления отклонений от линейной оптики. Поэтому в работе [419] параметры сimi названы параметрами нелинейности и составлен общий рецепт для их вычисления.
Поскольку явный вид вероятности вынужденного перехода Pmt зависит от способа возбуждения, то при общем рассмотрении из psmi не выделялась плотность возбуждающего света Um\. Поэтому здесь введены параметры нелинейности, выступающие как сомножители в произведении сбт!/т^.
При интерпретации экспериментальных результатов возбуждающий свет обычно характеризуется плотностью потока S в вт/см2, а в качестве параметра нелинейности выбирается величина, стоящая в виде сомножителя около 5 в формулах типа (13.11) и (13.12). Связь между параметрами нелинейности и их размерности легко определить из равенства безразмерных произведений
amlPml = a'ml UM = a'mlSml~ (13.14)
При возбуждении изотропным светом psml — Bmluml = BmlX X Sml/vg, где vg — групповая скорость света. В этом случае
