Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
ал
что полностью соответствует обозначениям (2.76) и формул
(2.52).
В этом параграфе ограничимся вычислением оригинала ф> ции if%, s). Он
может быть найдем непосредственно послед вательным обращением
преобразований Ханкеля и Лапласа, этого, исходя из (2.89) и (2.54),
представим Г^L(q, s) в виде
if (9, s) = Г$>, s) + Г$(д, s),
гHL( s) _ _....(?У + ч2)1.
it? = -^V7777.
(2.91
Щ s
Найдем оригинал по Ханкелю функции (j/2s2 + q2)~1^2 [73]
+ q
f Jirj, J-W d(i =
0 Vj/V + q
-ffsr
- (2.92
Здесь Ky(z)-модифицированная функция Бесселя, выражав
щаяся через элементарные функции при v = п + 1/2 так [69, 73, 77]:
_У?
(2.93)
RJz) = У A zn~p, А = nOv ' Zj пр пр
р=О
(п + р)! пр р\{п ~ р)12р'
76
Учитывая свойство преобразования Ханкеля [160, 182,
183]
lrf(r)}'
(2.94)
навдем следующие оригиналы:
77777
= -+ 1),
¦•/¦¦¦ %..... I = -^е + 2rj3s3r3 +
VnV + <7 Г
(2.95)
"4 1Яо
+ 5tj2s2г2 + 9tjsr
+ 9).
Тоща, применяя к (2.91) обратное преобразование Ханкеля, получим
It(r, s)
1 V-2)2
2(r);4 г
,2 - 2) 4(5 - 72;
Л А*
36 , 36
+ ~ + Г S'
¦4~3 ' Л41
e~sr, (2.96)
Окончательно из формул (2.91) с учетом (2.96) и свойств
преобразования Лапласа найдем
2
Га(Г' Г) * Га0<л TWT " г> + 2 т)Я(т ~
Га1(Г' Х) * "^713Т2 " (2Г>2 ~ 1)Г2]'
(2.97)
77
§ 2.7. Связь плоской и пространственной задач
Оригинал функции Г^L(q, s) может быть найден другим
методом, использующим связь (2.89) функций влияния для плоской и
пространственной задач. Для этого с использованием понятия интегрального
преобразования, порожденного двумя доугими [182], докажем следующее
утверждение.
Утверждение 2.3. Пусть: 1) даны два интегральных преобразования
F;.(p.(xp -" f.(q) (q -параметр; i= 1, 2):
ff да = J 4XV Kfa, q) G S' (Г),
FJK- ffx) = I xt)f.{Q)dq, L.{q, x) G S' (y.),
Г '
где у., Г С R, У^(Г)-пространство обощенных функций медленного роста по q
и бесконечно дифференцируемых по х, F71--обратное к F. преобразование;
2) ядра К.(х., q) и L.(q, х.) удовлетворяют следующим условиям:
J Х/х,., q)co(q)dq G Sx (у.) Vco(q) G 5 (Г),
Г '
/ L;(Q' x.)A(x.)dx. G S (Г) VA(x.) G (у.),
где S (Г)-пространство основных быстро убывающих функций;
3) f2(q) = Cf{{q).
Тогда существует третье, порожденное двумя первыми, интегральное
преобразование Fy (р^х^) <р2(х^) с ядрами X3(xj,x2) и
L2(xv xj:
ру <Рг(хг) = / 'P\(xi)Ki(xv x2~)dxv
-i , У,г (2.98)
F3 : (Pj(Xj) - J <p2(x2)L3(x2, )dx2,
Уг
где
^з(*1> x2) = CI K\(XV V)L2(V' *2^'
Доказательство. Условия 1) и 2) утверждения гарантируют, что функции
х2) и L3(x2, Xj) являются ядрами
третьего, порожденного интегрального преобразования [182]. Справедливость
первой из формул (2.98) подтверждается следующими равенствами (вторая
формула доказывается аналогично):
Изменение порядка интегрирования здесь возможно в силу условий,
налагаемых на функции К.(х. ц) и L.(q, х.) [51, 182].
Соответствие между функциями, устанавливаемое преобразованиями F (г = 1,
2, 3), может быть проиллюстрировано следующим образом:
Применим теперь полученные результаты для преобразований Фурье и
Ханкеля.
Следствие 2.3.1. Пусть: 1) даны функции /(*)-четная
(* ? R) и g(r) (/¦ > 0); 2) s^v(q) = CfF(q), q > 0.
Тогда существует ядро г) такое, что справедливо
равенство
Доказательство. Положим, что Fj-косинус-преобразо-вание Фурье (значок
с указывает на изображение), a F2-преобразование Ханкеля Н^. Тогда ядра
К. и L. (г = 1,2) имеют вид
f 2^) = / L2^' x2>f2^dq = / CL2^' х2)f\(<l)dq =
Г
Г
Г
У,
(2.100)
00
ё(г) = J Kjx, r)f(x) dx.
(2.101)
0
2
q) = cos (q, x), L{(q, x) = - cos (qx)
K2(r, q) = rJv(q, r), L2(q, r) = qfv(qr),
yx=y2 = Г = [0, +oo).
(2.102)
79
Учитывая связь изображений экспоненциального преобразования Фурье и
косинус-преобразования для четных функций [116, 182, 183]
