Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
0, s).
В этом параграфе ограничимся вычислением оригинала функ-
ции VFfL. Для этого согласно формулам (2.53), выражениям для R чз (2.48)
и к2, из (2.39) и (2.44) представим ее в виде
'Ttр> s) =
J7,L
,2\ '
I ТП-) v??l
гтт" 2
5 +р
п2 + ?-
/ 2 2
JTi', i \rj2s +p J
. (2.54)
Оригинал входящей в (2.54) иррациональной функции может быть майд./i
иоследовательным процессом вычисления интеграла обращения преобразования
Фурье [73, 145] и оригиналов преоб-
ру Лапласа [81, 185] (индексами F~l и L~l обозначены
си- ¦.'.хтвуюьчие обратные преобразования):
I
1
2 2 . 2
:гтт7~т
7 s + р
0 V?? S + р
- - Г* Гя I х Ы - Я^->у1*1'!
~ л:1 О^7 ~ луг2 _ "2"2
7 *
(г2 - 7V);1'2
: :есь A^(z)-модифицированная функция Бесселя [73, 185],
единичная функция Хевисайда. Кроме того, использовано
ллчение обобщенной функции х* [47, 95, 182].
попытка формально найти аналогичным образом оригиналы а,ий, входящих
в (2.54) и отличных от (2.55), приводит к
63
оольяшм сложностям, в том числе выводит эз рамкк класса обобщенных
функций. Поэтому далее исходя из структуру выражения (2.54), поставим
вопрос о вычислении оригинала?
функции pfL{p, s)/s по известному оригиналу f(x, г). Для этого? докажем
два утверждения. В них речь пойдет о связи свойств однородности
изображения и оригинала, а также об использовании этого факта при
совместном обращении преобразования Фурье-Лапласа.
Утверждение 2.1. Пусть дано преобразование F:
ЛрО) ] = /О), х = (х;, хт) G Rm? р = (р., ...,рт) ? Ст, обладающее
свойствами однородности F\ap(x)\ = af(p) (a G R), обобщенного подобия
FlfQx) \ = kkf{jjk) (а > 0) к имеющее обратное преобразование
F~l{F[<p{x)]] = <p(x).
Тогда, для того чтобы изображение f(p) было однородной функцией
степени а, необходимо и достаточно, чтобы оригина <f {x) был однородной
функцией степени ft = к - а.
Доказательство. Пусть <р(х)-однородная функция сте-1 пени /5. Тогда с
учетом свойства однородности преобразований F для любого X > 0 имеем
F{<p{?.x) J = F[kp<p{x) 3 - X^f{p).
Используя дополнительно свойство подобия, получим
А^Д" = Xkf(p/X), Дур) = yk~P;(jp), ys = 1/А.
Отсюда следует однородность степени а = к - /3 изображения,
Для доказательства утверждения в обратную сторону достаточно
заметить, что обратное преобразование F~1 также удовлетворяет свойствам
однородности и подобия:
F~l \af{p) ] = aip(x), F~l |f(Xp) j = Xk<p(x/X).
Следствие 2.1.1. Пусть fL{p, s)-изображение Фурье-Лапла^ ca функции
f{x, т) (x, p G Rn). Тогда, для того чтобы функций f\p, s) была
однородной степени а, необходимо и достаточно, 64
ч'тоиы оригинал f(x, г) был однородной функцией степени /¦ ^ -(а + п +
1).
Доказательство. Согласно свойствам преобразований С рье и Лапласа [95,
116, 182] они также, как и совместное ^образование, обладают свойством
однородности. Показатели Лдобия следующие: /fcj = -1 для преобразования
Лапласа и
; -п для преобразования Фурье. Для совместного преобразования показатель
подобия к ~ к{ + к2 = - (л + 1). Тогда из юрждения 2.1 находим /3 = ~(а +
п + 1).
Утверждение 2.2. Пусть fl{p, s)-изображение Фурье-Лап-,ч а функции
/(дг, г) (р, х G R), и fL(p, s) - однородная ( ¦ихция степени а. Тогда
оригинал функции pfL!s имеет вид
Л оказательство. По следствию 2.1.1 (п = 1) получаем . . <• оригинала
Дх, z)
I гда. учитывая это равенство и свойства преобразований Фурье и Лапласа,
получим
Следствие 2.2.1. Если в условиях утверждения 2.2 а = - 1,
Применим этот результат к вычислению оригиналов функ-
.V
о .
т т
= (2 + ")j f(x, t)dt + r/(x, г) - f f(x,
t) dt =
0
0
T
TO
rr
пни г (p, s) (cm. (2.54)). Для этого заметим, что функция
65
2 2 2 -1/2
(t] s + p ) -однородная степени a = -1. Тогда, применяя
следствие 2.2.1, с учетом (2.55) найдем
Итак, из формул (2.54) и (2.56) окончательно для функции Трс, г)
получим следующее выражение:
Во многих с 1учаях применить указанный подход для вычисления
оригиналов невозможно. Поэтому обычно используются другие методы,
существенно учитывающие однородность изображения. К ним относятся метод
Каньяра в модификации де Хупа [237, 247] (подробно описан, например, в
монографиях [139] и [143]), использование преобразования Радона [298] и
метод, основанный на применении аналитических представлений искомых
оригиналов [179, 182]. Продемонстрируем последний подход на вычислении
оригинала функции Г^ь (2.53).
рг
Во-первых, отметим, что функция (р, s)-однородная степени a = -1.
