Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, в работах [18, 19] рассмотрено влияние расширения Вселенной на спектр водородоподобного атома. Было показано, что на раннем этапе ризвития Вселенной (когда ее радиус имел очень малые значения) гравитационное поле оказывало существенное влияние на спектр атома. Однако в реальных космологических
136 моделях малым значениям радиуса соответствуют весьма большие давление и температура, при которых атомы не моїут существовать. Продолжая рассмотрение аналогичных примеров (см. [133—137]), можно прийти к выводу, что внешнее гравитационное поле практически не влияет на энергетические уровни. К аналогичному вывод\ пришел Л. Паркер [138], рассмотрев в общем случае «покоящийся» атом во внешнем гравитационном иоле. В частности, он показал, что только в очень сильных гравитационных полях (характерный радиус кривизны ~10~'*см) эффективная энергия взаимодействия атомного электрона имеет порядок 10~ьэВ. Однако для движущегося атома это уже не совсем так по следующей причине.
Нел и атом движется по геодезической во внешнем гравитационном иоле, то на его электрон помимо сил куло-новского притяжения действуют также «приливные» силы (см, например, [69]), обусловленные отклонением орбиты электрона ог геодезической и пропорциональные R'mnk ит //"<Vv*. Так как в этом случае величина 6хк имеет порядок атомного радиуса (~10"8см), то «приливные» силы могут вносить заметный вклад в энергию электрона только тогда, когда атом находится вблизи сингулярности пространства-времени (ср. результат Паркера [138]) или когда он движется с околосветовой скоростью [59, 91] (при V-+C некоторые компоненты 4-скорости могут становиться сколь угодно большими). Для внешнего наблюдателя второй случай представляется более интересным, поскольку вблизи сингулярностей существуют горизонты, а также вследствие больших температур и давлений вещество находится в вырожденных состояниях. Следуя работам [59, 91], рассмотрим с квантово-механической точки зрения влияние внешнего гравитационного поля на движущиеся с ультрарелятивистской скоростью атомы.
Явный вид оператора Гамильтона. Эта задача решается наиболее просто в сопутствующей системе отсчета, т. е. в системе отсчета, в которой ядро покоится, так как при этом задача становится нерелятивистской даже для околосветовых скоростей движения атома. В качестве сопутствующей системы отсчета выберем систему отсчета одиночного наблюдателя. Пренебрегая влиянием электрона на траекторию атома, отождествим уравнение дви-
137 жения «наблюдателя» (2.83) (х' = ?'(т)) с уравнением движения ядра. Для нахождения оператора Гамильтона, описывающего динамику атомного электрона, воспользуемся общим выражением (4.20), в которое подставим соответствующие электромагнитные потенциалы.
Для атома величина р = (у{а)у{а))1/2у описывающая расстояние между электроном и ядром, очень мала. Разлагая величины 0, в,а) и o(a)(P) в ряд но степеням р, из (4.6), (4.7), (4.12)-(4.14) находим
*(-><«= - О2; (6.29)
в{а)= - -f-/?(4)(х)(а)(,Лы + в(а) + 02; (6.30)
в = -I- /?(4) (х) (4) (X^VX) + 0 + О2, (6.31) где использованы обозначения
?(.,(«= 4" 5<.><»<мом<ЛУтУ?) + О (р4), (6.32)
©о = -T^-'^X"»"^"^0^ + 0^' (633)
в = S(4, (4) („) (,) (VijZ11Vt Vv)+о (р4). (6.34)
Здесь
С — U ™ L пи PL г Lt SO
(b) (c)(d)(e)— П(а) П{Ь) П(с) tl(d) П(е) mnpr\s'
Подставляя (6.29)—(6.34) в (4.20) и производя замену в соответствии с (4.26), находим оператор Гамильтона в виде функции операторов положения, импульса и спина, а также тетрадных компонент тензора кривизны, ускорения и угловой скорости системы отсчета:
= са(х) (^A (у)--J- А +mc2?> + V-
+ ~-c2/?(4)(M)(4)(v)^Vv))? + a, (6.35)
138 где
0= -Га<Х,{(-^ w^m+ 4-^»(,)(4»(v,<7("Vv) + + «). ( к,- -Ta^] +тсЩ- -§-{(©<»> +
+ -f-Z^^^'V'0). ( +
- X аи {(- ^ (V)^Vvl+,
В подавляющем большинстве случаев, когда V<^m{)c'2 (для атома это всегда так), оператор о может быть опущен.
Электромагнитные потенциалы, входящие в оператор Гамильтона (6.35), определяются из соотношений
А{а=А- = «»Аа + ^Аа, К = <°> V + <*> V, (6.36)
где потенциалы (0Ма и (0V описывают внешнее электромагнитное поле, а потенциалы ^Mct и {К) V—поле ядра. Так как уравнения Максвелла линейны, то для потенциалов 'aM, находим
<*V = - Zelfv + О (Р(1) (/)). ™А„ = О (е(„ (;)).
Таким образом, подставляя в оператор Гамильтона (6.35) нон111 пиалы ядра в виде (К] V=-Z el/p, {К)А- = 0, отбрасываются несущественные члены, имеющие такой же порядок малости, как и а.
Для нахождения потенциалов внешнего поля преобразуем тензор напряженности этого поля (0)Bik к вращающимся координатам Ферми. Так же, как и в § 5.2, ограничимся рассмотрением узкой мировой трубки вдоль мировой линии ядра х1 = %(т). Используя формулу (2.89) и предполагая, что внешнее электромагнитное поле ква-зистационарно и квазиоднородно, находим (0)?-;— = ""?„1()1+02> где (0) Bmi)=h{l)m h{j)n (<0) Bm„)t. = l. (І), а обоз-наченные посредством О2 члены имеют порядок 0 ^mM (ЛV Поскольку внешнее поле не должно быть
139 больше кулоновского поля, создаваемого ядром (в противном случае атом будет ионизирован), то этими членами в операторе Гамильтона можно пренебречь, так как они имеют такой же порядок, как и а. Таким образом, потенциалы суммарного поля (6.36) в используемом здесь приближении определяются соотношениями
