Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
120 как это следует из (3.68), U+U = 0. Следовательно, в этом
случае # = <D>//, P00=^x,. а(х) = а(х>. P = ? (ср. § 3.6).
Подставляя формулы (5.29) и (5.30) в общее выражение для оператора (D) H (4.15), находим оператор Гамильтона в координатном представлении для движущейся произвольным образом системы отсчета одиночного наблюдателя [59]
ж=^H= +о.(Р(„- -fA>)} + V-
-Q<l)(L(t) + S(t)) + (l + jr U>Wa)) mc% (5.31)
где сохранены обозначения, введенные в главах 2—4. Кроме того,
Для практических вычислений часто более удобной оказывается двухкомпонентная теория. Рассуждения, аналогичные § 4.3, приводят к следующему выражению для двухкомпонентного оператора Гамильтона Нф [59]:
Aix^+V-Q^iLw+Sm) +
(X)ljX
(5.32)
_(X)(V)(T) W ( ф__L.A V
а(т) W (V) (X) с a(K)j
121 § 5.3. Водородоподобный атом в неинерциальных системах отсчета
Применение атомных часов в качестве эталона времени поставило вопрос о том, как влияет ускорение ядра на атомные спектры. В качестве простейшего примера рассмотрим водородоподобный атом. В частных случаях равномерно вращающейся и равномерно ускоренной систем отсчета эта задача обсуждалась в работах [11, 12, 102, 103] и [104, 105] соответственно. Для оценки влияния произвольного ускорения ядра на спектр атома воспользуемся сопутствующей системой отсчета. В качестве последней выберем систему отсчета одиночного наблюдателя. Тогда уравнение движения базисной линии (5.28), определяющей систему отсчета, совпадает с мировой линией ядра, уравнение которой во вращающихся координатах ФерМИ ИМееТ вид у{а) =jca = O, jc4 = ct.
Для нахождения оператора Гамильтона, описывающего атом, достаточно в выражение (5.31) подставить соответствующие электромагнитные потенциалы A-и V(V=—eAj). Электромагнитное поле, в котором движется атомный электрон, будем считать классическим. Оно представляет собой суперпозицию внешнего поля («М-, MV) и поля ядра (<«M-, {К) V):
A-=WAi+^ Ah
Чтобы найти поле, создаваемое ядром, воспользуемся потенциалами Лиенара — Вихерта (см., например, [36])
<44"(jc') = f (5.33)
описывающими поле в точке jc' (х1 — декартовы координаты, введенные в инерциальной системе отсчета 2), создаваемое движущимся по закону х1 = х1(т) точечным зарядом е. Здесь 0—радиальная функция Хевисайда: 0 (г) =0, если г = 0, и 0 (г) = 1 /2, если г> 0; т0 — решение уравнения запаздывания
[Xi - Xi (то)] [xf - j? (то)] = 0; (5.34)
(5.35)
Соотношения (5.33)—(5.35) записаны в декартовой системе координат {jc1}, введенной в системе отсчета 2.
122 Нам же необходимо найти потенциалы во вращающихся координатах Ферми {*'), связанных с декартовыми координатами соотношением (4.9). Вспомнив, что в пространстве Минковского мировая функция
Q (Л'1, Хч) = -у- Ц,і(х\—х12)(х'і —хЦ,
получим
== l/^=h{a\ (Xі -11 (т)), X4 = ст.
Используя формулы (2.84)—(2.88) и соотношение
LJ'>=e(yJMIII)m2<>'> (см. (П. 9)),
находим окончательное выражение для коэффициентов преобразования
A1__и 1
П а — "(а)»
^1T= -f [v^"+«'(i + ^-.'/"'ttV))]- (5-36)
Уравнение запаздывания (5.34) в общем случае точно решить не удается. Поэтому ограничимся нахождением поля в ближней зоне, т.е. поля для малых значений р = (у(ОІ{/а]У/2. Переходя в уравнении запаздывания к вращающимся координатам Ферми и ограничиваясь членами, квадратичными по р, имеем
(т - то) = (1 + Є) ¦-1/2 р/с + О (р3). (5.37)
Преобразуя с помощью соотношений (5.36) электромагнитные потенциалы, полученные после подстановки (5.37) в (5.33) и (5.35), находим потенциалы для поля ядра, записанные во вращающихся координатах Ферми:
<*'/!; ~ --?-(1-5) W(а),
'^4- + 4-е) WmK^].
Эти выражения можно несколько упростить, сделав калибровочное преобразование:
где
123 В результате имеем
«0До= О + 0(р2), (5з8)
«Я- -?-[ 1 + -^r W^ + О (р2)].
В случаях равномерно вращающейся и равномерно ускоренной систем отсчета полученные потенциалы совпадают с найденными в [109] и [104, 105] соответственно.
Перейдем к рассмотрению внешнего электромагнитного поля. Пусть {0)Bij — известный тензор внешнего электромагнитного поля, записанный в декартовых координатах {х1} в системе отсчета 2. Найдем соответствующие этому полю потенциалы (0М: преобразованные во вращающиеся координаты Ферми. Как и в первом случае, ограничимся небольшой окрестностью ядра. Тогда, используя коэффициенты преобразования (5.36), находим
<0)?^=?(o„P)+/i(o,(f,)Wi/w+0(P2). (0)?i J= ?(-)(4)+(-^.?(e) (4)Г(х)+>4(.„4,(X,+
+ ~с~е(х) («Фи) у(т)+о (р2),
где введены обозначения
В{т){п)=И{т'И{п1ГВч)х1^^ (5.39)
A(m)(n)(k)=h(m)h{njh{k)l ((0)?,7;/) JmelI (т).
Для нахождения электромагнитных потенциалов (0) Ah соответствующих тензору электромагнитного поля wsrji
воспользуемся методом последовательных приближений и, опуская промежуточные вычисления, запишем окончательный результат в виде
(°>Л;= Ti4MW(/V,,+ °(P3)-
(0)А І=?(x) (4)(/<х) + -J- (А (в) (4) (т) + -р- В(а) (4) №(l)+
+ е<х) (v)(x)?,a) („Q(.,) </°Ут) + О (Р3). (5.40)
После нахождения электромагнитных потенциалов (5.38) и (5.40) оценим влияние релятивистского ускорения ядра на спектр водородоподобного атома. Рассмотрим
