Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
вторая система движется относительно первой со скоростью > с/2, а третья
система движется относительно второй со скоростью v.2, также большей, чем
с/2 (в том же направлении). Можно подумать, что скорость третьей системы
относительно первой будет тогда больше чем с. Однако это не так, ибо эта
скорость не равна просто Чтобы убедиться в этом,
достаточно найти преобразование Лоренца, описывающее переход от первой
системы к третьей. Перемножая для этого матрицы рассматриваемых
преобразований, мы найдём полное преобразование и увидим, что оно
соответствует скорости определяемой так называемым законом Эйнштейна для
сложения скоростей. Согласно этому закону
Отсюда видно, что если ^ и [32 меньше единицы, то [3., также будет меньше
единицы. Вывод формулы (6.20) мы предоставляем читателям провести
самостоятельно в качестве упражнения.
§ 6.3. Ковариантная форма уравнений. Преобразование Лоренца получено нами
для замены преобразования Галилея, так как последнее нельзя считать
правильным. Теперь мы можем перейти ко второй части нашего исследования и
рассмотреть вопрос о принципе эквивалентности, требующем, чтобы законы
механики (и вообще законы физики) имели одинаковую форму во всех
равномерно движущихся системах. Таким образом, мы должны исследовать
законы физики в отношении инвариантности их формы при преобразованиях
Лоренца. Эта задача сильно облегчается, если, формулируя эти законы,
пользоваться понятием четырёхмерного пространства Минков-ского,
введённого в предыдущем параграфе. Мы увидим, что инвариантность данных
уравнений относительно преобразований Лоренца тогда можно будет
установить непосредственным путём.
Инвариантность формы уравнения относительно преобразований Лоренца не
является единственной инвариантностью, накладываемой на законы физики.
Ясно, например, что физическое содержание
•щ + оз
или
Pt + ?2
(6.20)
§ 6.3]
КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ
215
любого закона не должно изменяться при изменении ориентации выбранной
системы координат. Следовательно, законы физики должны также быть
инвариантными и относительно поворотов системы координат, т. е.
относительно ортогональных преобразований пространства. Эта
инвариантность является более простой и исследование её сделает более
ясным тот метод, которого следует придерживаться при исследовании
инвариантности относительно преобразований Лоренца.
Мы не беспокоимся обычно об инвариантности наших законов относительно
поворотов системы координат. Это связано с тем, что при составлении
какого-либо уравнения всегда требуется, чтобы его слагаемые были либо все
скалярами, либо все векторами, либо все тензорами одного ранга, а это
автоматически обеспечивает инвариантность относительно поворотов
координатной системы. Так, например, скалярное равенство имеет вид
а - Ъ,
а так как обе части его являются скалярами, то они инвариантны
относительно координатной системы и, следовательно, это равенство
остаётся справедливым во всех системах координат. Рассмотрим теперь
векторное равенство
F=G,
эквивалентное трём равенствам
Fi = °i>
связывающим составляющие этих векторов. Значения этих составляющих не
являются, конечно, инвариантными относительно поворотов системы
координат, и поэтому в результате такого поворота они примут значения Fi
и Oj, которые являются составляющими преобразованных векторов F' и G'. Но
так как обе части равенств, связывающих эти составляющие, преобразуются
идентичным образом, то будут иметь место равенства
Fi - G\.
Следовательно, равенство, связывающее два вектора, остаётся справедливым
при любом повороте системы координат* и в новой системе мы будем иметь:
F' = G'.
Следует заметить, что инвариантность этого равенства есть следствие того
факта, что обе его части преобразуются как векторы. В таких случаях
говорят, что рассматриваемое равенство является ковариантным. Аналогично,
всякое равенство
С = D.
216
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. 6
связывающее тензоры второго ранга, означает также равенство
С' = D',
связывающее преобразованные тензоры, так как при повороте системы
координат тензоры преобразуются ковариантно. В противоположность этому
уравнение, связывающее составляющую вектора с составляющей тензора,
очевидно, не может оставаться инвариантным при трёхмерном ортогональном
преобразовании. Инвариантность физического закона относительно поворота
пространственной системы координат требует ковариантности выражающего его
уравнения.
Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное
преобразование в пространстве Минковского. В этом четырёхмерном
пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга,
обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели
для аналогичных величин в трёхмерном пространстве. Так, например, мы
будем говорить о четырёхмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п.
Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца
можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной
