Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
колебаний. Обозначая отклонение г'-й точки от положения равновесия через
Y]j, получаем выражение для кинетической энергии
Т=^^т1\1, (11.1)
i
где т - масса каждой точки. Аналогично, потенциальная энергия этой
системы будет равна сумме потенциальных энергий отдельных пружин. Поэтому
^ (П-2)
§ 11.1] ПЕРЕХОД ОТ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ К НЕПРЕРЫВНОЙ
371
(см. § 10.4). Убедиться в том, что формула (11.2) выражает потенциальную
энергию этой системы, можно и непосредственно, вычисляя силу, действующую
на г'-ю точку, и сравнивая её с силой, полученной из выражения (11.2).
Сила, действующая на г'-ю точку
Система в равновесии
h"H ьн Система
к. V. 17. выведет иэ
' ¦ ',+/ равновесия
Рис. 71. Дискретная система точек равной массы, связанных пружинами. Эта
система имитирует непрерывный упругий стержень.
со стороны правой пружины, равна k('qi+1 - гп), а сила со стороны левой
пружины равна - -"C:_i)- Поэтому Fi равно
Fi = k (Ъ-ri - rn) - k(rH-ra-1)>
что совпадает с производной -получаемой из формулы (11. 2).
Из выражений (11.1) и (11-2) следует, что лагранжиан данной системы равен
L - Т - У = tOT7l" " А (Tii-n - ^i)2!- (И-3)
г
что можно записать также в виде
г i
Следовательно, уравнение Лагранжа для г'-й координаты будет иметь вид
+ = (11.5)
Та специальная форма, в которой записаны выражения (11.4) и (11.5),
выбрана нами для удобства предельного перехода к случаю непрерывного
стержня, т. е. к случаю, когда а = 0. Рассмотрим сначала отношение m/а.
Ясно, что при а->0 оно стремится к линейной плотности р., т. е. к массе
единицы длины стержня. Что касается величины ka, то её предельное
значение не столь очевидно. Так как упругий стержень подчиняется закону
Гука, то его относительное удлинение прямо пропорционально растягивающей
силе, и поэтому можно написать:
F = 1%
372 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 11
где \-относительное удлинение, т. е. увеличение единицы длины стержня, a
Y - модуль Юнга. Но относительное удлинение отрезка а равно
S = (%н - г1г)1а> а необходимая для этого сила равна
F=k (Tji+1 - ru) = ka (Y1*+t~YiL) •
Следовательно, произведение ka должно соответствовать модулю Юнга
непрерывного стержня. Далее ясно, что индекс I, характеризующий номер
материальной точки, должен при переходе к непрерывному стержню
превратиться в непрерывную координату х. Поэтому вместо переменной т^
будем теперь иметь переменную т;(х), а фигурирующая в величина
- У,- _г\(х + a) - rt (х) а а
перейдёт, очевидно, в
di\ dx '
так как мы стремим а к нулю. Что касается самой величины а, то её нужно
заменить теперь на dx, а суммирование по i заменить интегралом по х.
Тогда лагранжиан (11.4) примет вид
=ИР_1'(е)!
dx. (11.6)
Перейдём теперь к уравнениям движения. Когда а стремится к нулю, два
последних члена в уравнении (11.5) принимают вид
"m_I((*L) _В) ),
, v о а {\dxJx \dxjx-a)
О/ о
что, очевидно, равно-Следовательно, колебания непрерывного упругого
стержня будут описываться уравнением
= <".7)
Этот простой пример хорошо иллюстрирует метод перехода от дискретной
системы к непрерывной. Особенно важно правильно понять здесь роль
координаты х, которая не является обобщённой координатой, а представляет
"непрерывный номер" частицы, аналогичный "дискретному номеру" i. В
дискретной системе каждому значению i соответствует определённая
обобщённая координата т]г. Здесь же каждому значению х соответствует
обобщённая координата т](х). Но так как т} зависит также и от t, то лучше
писать не т](х),
§ 11.2] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
373
а т](х, t), указывая тем самым, что х и t можно рассматривать как
параметры лагранжиана.
Если бы непрерывная система была не одномерной, как в рассмотренном
примере, а трехмерной, то каждая её точка характеризовалась бы тремя
непрерывными индексами х, у, z, и следовало бы писать не т](х, 7), a
т](х, у, z, t). Лагранжиан её выражался бы тогда не интегралом по х, а
трёхкратным интегралом вида
WJJ Zdxdydz, (П.8)
где 8 - лагранжиан единицы объёма или удельный лагранжиан. Для
расмотренного выше непрерывного стержня он равен
и получается из величины Li в уравнении (11.4) при а-*0. В дальнейшем мы
увидим, что, составляя уравнения движения системы, нам придётся
пользоваться не лагранжианом, а удельным лагранжианом.
§ 11.2. Уравнения Лагранжа для непрерывных систем. Из формулы (11.9)
видно, что в случае упругого стержня 8 содержит
не только т] = но и пространственную производную Таким
образом, х и t являются здесь равноправными параметрами удельного
лагранжиана. В общем случае 8 будет, конечно, функцией не только этих
производных, но и самого т], t и х. Если же рассматриваемая непрерывная
система является трёхмерной, то её удельный лагранжиан будет иметь вид
(11.10)
В механике дискретных систем лагранжиан был важен в том отношении, что
позволял получить уравнения движения. Мы увидим сейчас, что в случае
непрерывных систем эти уравнения получаются непосредственно из удельного
