Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
матрицу.
Если ввести диагональную матрицу X с элементами Хг?. = Хй8№, то уравнения
(10.15) можно будет записать в виде
VijUjk = ZJ TijUjiKij.,
1 j, I
что эквивалентно матричному уравнению
VA - TAX. (10.24)
Умножая его слева на А, получаем:
AVA = АТАХ,
или, учитывая (10.21'):
AVA ==Х. (10.25)
Полученное равенство показывает, что конгруэнтное преобразование матрицы
V с помощью матрицы А превращает её в диагональную матрицу X, элементами
которой являются собственные значения Xs.
Таким образом, матрица А диагонализирует и Т и V- Возвращаясь теперь к
интерпретации Т как метрического тензора пространства конфигураций, мы
можем дать следующее истолкование процессу диагонализации: 1) Матрица А
есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от
косоугольной системы координат к прямоугольной. (Это видно из того факта,
что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой
системы координат являются главными осями V, т. е. матрица V является в
них диагональной. Следовательно, процесс получения основных частот малых
колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному
тому, которое рассматривалось в главе 5.
Остаётся рассмотреть случай кратных корней векового уравнения,
что интересно не столько в практическом отношении,
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. 10
сколько в математическом. Легко видеть, что уравнения (10.15) не
определят тогда даже отношения составляющих а^к. Пусть, например,
собственное значение Хк является двукратным. Тогда две любые составляющие
cijk можно выбрать совершенно произвольно, а остальные определятся
уравнениями (10.15). В качестве иллюстрации рассмотрим систему с двумя
степенями свободы. Вековое уравнение ее будет иметь вид
Vn - XTU V12-XTi2
^12 - ^22-ХГзд
' 0 3
(10.26)
или
/.У,,)- (Vn -*'Тп)(У.22 - ХГ22) - 0. Предположим теперь, что матрицы Т и
V таковы, что
Туз_У it Ym________________)
Т т т ''О*
* 12 Ml 122
Тогда это уравнение можно будет записать в виде
(тл - тит^0ч - ).)* = о,
показывающем, что Х0 является его двукратным корнем. Уравнения
(10.10) будут здесь иметь вид:
(УП ll) а1 (^12 ^о'Лз) а-2 "
0^ 1-2 ^0^12) а1 Н~ (Уз2 ^О^зз) °2 = 0,
и согласно (10.26) все их коэффициенты равны нулю. Следовательно, любые
числа at и а.2 будут удовлетворять этим уравнениям. Поэтому даже при
нормирующем требовании (10.20Ь) здесь все же будет бесконечно много
собственных векторов. Вообще ясно, что при двукратном корне X число этих
векторов будет фавно ос, при трёхкратном бзлдет равно со2 и т. д.
В случае кратных корней произвольно выбранная пара собственных векторов
не будет, конечно, ортогональной. Тем не менее, пару таких векторов
всегда можно образовать, и её всегда можно использовать для получения
ортогональной матрицы А. Рассмотрим для простоты процедуру, которой нужно
здесь следовать в случае двукратного корня X. Пусть, например, а'к и а\
два произвольных собственных вектора, соответствующих двукратному корню
X, причем а'к удовлетворяет условию (10.20Ь). Очевидно, любая линейная
комбинация этих векторов также будет собственным вектором,
соответствующим корню X. Поэтому мы образуем вектор
(10.27)
§ 10.2] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ 351
и постараемся так выбрать коэффициенты сх и с2, чтобы аг было
ортогонально а'к. Переходя для этого от векторов к их составляющим,
запишем (10.27) в виде
Умножая теперь (10.27') на Т^а'^ и производя суммирование по i и j,
получаем:
Но, чтобы удовлетворить условию ортогональности (10.20а), левая часть
этого равенства должна быть равна нулю. Поэтому коэффициенты Cj и с.3
должны удовлетворять условию
Другое уравнение, связывающее коэффициенты сх и с2, получается из
условия, что аг должно удовлетворять нормирующему условию (10.20Ь). Таким
путём мы получим два уравнения, определяющих коэффициенты сх и с2, а
следовательно, и вектор Что касается собственных векторов,
соответствующих другим X, то как at, так и й!д. = а'. будут, конечно, им
ортогональны, так как теперь будет справедлива аргументация, которой мы
пользовались в равенстве (10.17^). Следовательно, таким способом можно
получить п собственных векторов dj, составляющие которых будут
образовывать матрицу А. удовлетворяющую условию (10.21').
Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой
кратности. Пусть, например, к будет /и-кратным корнем векового уравнения.
В этом случае нам нужно будет получить т ортогональных и нормированных
собственных векторов av ..., ат. Для этого достаточно взять т любых
собственных векторов а[, и образовать из них соответствующие линейные
комбинации. Вектор ах можно получить тогда, умножая а[ на соответствующий
коэффициент. После этого можно образовать вектор а2, составляя линейную
комбинацию векторов а[ и а', и т. д. Число постоянных, подлежащих при
этом определению, будет равно сумме т первых целых чисел, т. е. -i т(т-\-
1). Но так как эти постоянные должны удовлетворять т условиям
