Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
можно считать, что рассматриваемый поворот совершается вокруг оси z.
Тогда координаты каждой точки будут изменяться так, как будто система
остаётся в покое, а координатные оси поворачиваются на угол -dH. Поэтому
с точностью до величин первого порядка относительно dH мы будем иметь
следующие выражения для новых координат:
[см. формулы (4.90)]. Отсюда видно, что бесконечно малые изменения
координат будут равны:
Аналогичные соотношения мы, очевидно, будем иметь и для компонент
импульсов ри так как при повороте системы они преобразуются так же, как и
координаты. Сравнивая теперь равенства (8.70) с равенствами (8.64), мы
видим, что производящей функцией данного преобразования является функция
(8.68)
О = Pi
(8.69)
X^Xi-yidH, Yi- АгЧ- xidH, Y-i
3x4 = -PidH, byi = xidH, Szj = 0.
(8.70)
o = S (XiPiy - yiPix),
(8.71)
§ 8.71
СКОБКИ ПУАССОНА И КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ
285
а роль бесконечно малого параметра а играет угол сШ. Убедиться в этом
можно непосредственной проверкой, которая показывает, что при этом имеют
место равенства:
bXi^db~^==~yidb' bPix = -dfi^: = -PiijdH'
byi=db -^ = Xid^' bPiy^=-df)^T==Pixdb'
совпадающие с равенствами (8.70). Производящая функция (8.71) имеет
простой физический смысл: она представляет шбой д-компоненту
кинетического момента системы
С=Ьг.
Так как ось z может иметь произвольное направление, то мы приходим к
выводу, что производящая функция, осуществляющая любой бесконечно малый
поворот, имеет вид
G = L ¦ п, (8.72)
где п - единичный вектор вдоль оси этого поворота. Таким образом,
кинетический момент является производящей функцией вращательного движения
системы (подобно тому, как гамильтониан является производящей функцией её
фактического движения).
Этот результат следует, конечно, и непосредственно из равенства (8.69).
Если в качестве одной из канонических координат взять угол,
характеризующий поворот системы в целом, то соответствующий канонический
импульс будет, как мы знаем, составляющей кинетического момента вдоль оси
вращения (см. § 2.6). Таким образом, равенство (8.72) является частным
случаем равенства (8.69).
§ 8,7, Скобки Пуассона и кинетический момент. Отождествление
кинетического момента с производящей функцией вращения приводит к ряду
интересных и важных соотношений, содержащих скобки Пуассона. Согласно
равенству (8.66) изменение векторной функции F(q, р) при бесконечно малом
повороте системы равно
bF = db [F, L ¦ п]. (8.73)
Следует не забывать о том смысле, который мы здесь вкладываем в слова
"изменение функции". Векторное равенство (8.73) можно, конечно, записать
в виде трёх скалярных равенств. Пусть, например, А(Ч> Р) будет .^-
компонентой F. Тогда из равенства (8.73) получим
bA = A{Q, Р) - A{q, р) = </0[Л, L • я], (8.74)
и. аналогично, для составляющих F по осям у и г, которые мы будем
обозначать через B(q,p) и C(q,p). В предыдущем параграфе мы видели, что
преобразование скалярной функции u(q, р) при переходе к другой системе
переменных носит совершенно иной характер,
286
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. 8
так как значение функции остаётся при этом тем же самым, нефункциональная
зависимость и от аргументов, вообще говоря, меняется. Рассмотрим теперь
не скалярную функцию, а векторную и посмотрим, как она ведёт себя при
преобразовании, соответствующем вращению. Здесь дело будет обстоять
сложнее, так как функциональная зависимость каждой составляющей этой
функции будет изменяться по двум причинам: вследствие преобразования
аргументов и вследствие изменения самих составляющих в связи с поворотом
вектора. Рассмотрим, например, бесконечно малый поворот вокруг оси z. В
этом случае старые и новые составляющие вектора F будут связаны друг с
другом соотношениями:
A{q, р) = A' (Q, P) + B'{Q, P)d4, )
B(q, р) = В' (Q, Р) -A' (Q, P)dtJ, \ (8-75)
C(q> p) = C'(Q, Р), I
где A'(Q, Р), B'(Q, Р), C'(Q, Р) - новые функции новых аргу-
ментов.
Теперь нетрудно будет установить, какова связь между обычным
преобразованием вектора при его повороте и "изменением", выражаемым
равенством (8.74). Предположим, что векторная функция F такова, что
функциональная зависимость её старых и новых составляющих от
соответствующих аргументов оказывается одинаковой, т. е. функция A' (Q,
Р) такова же, как функция A (Q, Р), и аналогично для других составляющих.
Примером такой функции F может служить вектор кинетического момента
системы, так как в этом случае
Lx S (УгРге ^iPiy)>
г
а после поворота
Lx = 2 {YiPiZ-¦ ZP%y)-
i
Следовательно, Lx таким же образом зависит от Q и Р, как Lж от q и р. Для
векторных функций, обладающих этим свойством, и только для них, уравнения
(8.75) принимают вид:
A(q, р) = A (Q, P) + B{Q, P)db,
B(q, р) = В (Q, Р) - Л(<?, P)db,
C(q, р) = C(Q, Р).
Но с точностью до величин первого порядка малости член B(Q, P)db можно
заменить членом В (q, р) db. Поэтому изменения [в смысле (8.74)]
§ 8.7] СКОБКИ ПУАССОНА И КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ 287
составляющих вектора F при повороте вокруг оси z на угол d^ будут равны:
