Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отдали свои электроны (и, следовательно, нейтральны), то оставшиеся Nd -
nd доноров (на единицу объема) будут ионизованы (следовательно,
положительно заряжены).
Аналогично на единицу объема приходится Na - ра отрицательно заряженных
ионизованных акцепторов, где ра - число акцепторных атомов, не
захвативших электроны. Условие электронейтральности можно тогда записать
так:
е(р0- n0 + Nd-nd - Na + ра)=--0. (13.6.1)
Если же все доноры и акцепторы ионизованы, тогда nd = pa = О, и равенство
(13.6.1) примет вид
Ро-fto~\-Nd - Na = 0. (13.6.2)
Но согласно (13.2.15) р0 = пУп0, где nt определено соотношением
(13.2.16). Подставляя р0 - Щ/п0 в условие (13.6.2) и находя из него п0,
получим
По = ~? -Na) + Yт {Nd ~ Na)2 + П] ¦ (I3-6-3)
В полученном решении квадратного уравнения знак радикала (корня) можно
взять положительным, так как концентрация п0 должна уменьшаться до +пг,
если Nd = Na = 0.
Аналогично вместо п0 можно подставить п)/р0 в (13.6.2) и решить
полученное уравнение, что даст
Ро = - l2 (Nd ~ Na) + Y\ ('N* ~ N°)Z + * ¦ (I3-6-4)
Заметим, что если речь идет о заполнении уровней зоны проводимости и
валентной зоны носителями тока, то чистые кристаллы, в которых Nd = Na =
0, и скомпенсированные кристаллы,
324
в которых Nd = ЫаФ 0, совершенно тождественны; в обоих случаях па = Ро =
Щ- Для сильнолегированных кристаллов п-типа (Nd - Na > nt)
no^Nd - Na, po^nV (Nd - Na);
для сильнолегированных образцов р-типа (Na - Nd^ nt)
Po^Na - Nd, tio^in! / (Na - Nd).
13.7. Пользуясь формулами (13.2.11) и (13.5.14), составим отношение
концентрации электронов проводимости п0 к полной возможной концентрации
электронов проводимости n0-\-nd:
-П7- =-------л-------------------• (13.7.1)
' П" 1 + 2^ ехр [_ (Шс~Ша)1кТ]
Предположим далее, что экспоненциальный член в знаменателе много больше
единицы. Разность Шс - Ша есть энергия ионизации донора, которая для
германия при температурах выше 150 °К обычно меньше кТ.
При этих условиях упомянутая выше экспонента близка к единице, и тогда,
если Na^Uc, указанное отношение будет очень малым, что будет
соответствовать полной ионизации донор-ных у.ровней. Для кремния энергии
ионизации доноров несколько большие, чем для германия, и условия полной
ионизации донор-ных уровней более строгие. Во всяком случае ясно, что для
концентраций примеси много меньших чем Uc и для температур не слишком
низких ионизация донорных и акцепторных уровней будет достаточно полной.
Можно описать это и по другому: из рис. 13.2.1 видно, что, поскольку
энергия Ферми по меньшей мере на несколько кТ выше акцепторных уровней
или ниже донорных уровней, значение функции Ферми на этих уровнях будет
близко к единице или соответственно к нулю, что отвечает почти полной
ионизации. Таким образом, начало неполной ионизации всегда связано с
нарушением приближения Больцмана для донорных или акцепторных уровней по
отдельности или же и для донорных. и для акцепторных уровней и
соответствующей энергетической зоны.
Для полупроводника, в котором статистика Больцмана применима к примесным
уровням, к зоне проводимости и к валентной зоне, и в котором все
примесные уровни поэтому ионизованы, можно, исходя из условия (13.6.2) и
подставив для и р0 величины (13.2.11) и (13.2.12), получить равенство
Uv ехр [- (Ше - Ш")/кТ] - Uc ехр [- (Шс - SF)/kT] + (Nd - Na) = 0.
(13.7.2)
Далее, вводя обозначения
а = ехр (Шр/кТ), фс = ехр (-%с/кТ), Р^ = ехр ($v/kT), (13.7.3)
325
можно переписать равенство (13.7.2) в виде
Nd~Naa-^ = 0. (13.7.4)
исрс " U?c
Последнее можно решить относительно а, и, следовательно, для Ше получим
inter+V(%&¦)'+Ш <i3-7s)
При решении квадратного уравнения (13.7.4) знак корня следует взять
положительным, чтобы обеспечить положительность а = = ехр (Шр/kT), как
это должно быть, если Шр/kT - вещественная величина. Результат можно
упростить, если учесть, что
In {х + У *2 + а2) = In a + Arsh (х/а). (13.7.6)
Используя этот результат и формулы (13.7.3), (13.2.13) и (13.2.16), можно
в конце концов привести выражение (13.7.5) к виду
Шс) + kT In (-|У/4 + kT Arsh , (13.7.7)
ИЛИ
^ = ^ + 67 Arsh (13.7.8)
где ^ - энергия Ферми для собственного полупроводника при тех условиях,
при которых для Шр получено выражение (13.3.1).
Если разность концентраций донорных и акцепторных примесей Nd - Na велика
и по величине сравнима с nit то (13.7.7) принимает вид
tr = tFi±kT\nL"d-"°i("+" Для (13.7.9)
i щ \"-" для р-типа/ 4 '
с учетом того, что для больших х можно считать Arshx^ztlnj 2х\.
13.8. Кинетическое уравнение Больцмана можно записать в виде
sf=--03.8.1)
где / - функция распределения, /'-любая сила, которая может
воздействовать на все частицы данной системы, а (~) -
\01 j столкн
скорость изменения функции распределения из-за столкновения частиц с
центрами рассеяния. Символ Vf означает оператор градиента в пространстве
импульсов: Vp = ix (д/дря) -j- iy (д/дру) + + it (д/дрг).
Уравнение (13.8.1) можно решить и найти функцию распределения для
