Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости kx, ky кривые постоянной энергии представляют собой окружности
* = Я(" + А})
и кривые, удовлетворяющие равенствам
Ш = (А + В) + kl) ± [{(А - В)2 (ki - + C2k*kl>
вытекающим из уравнения
Щ+В^-Ш Ckjty Ckxku АЦ+Вк*х-Ш
Если С -малая величина, то мы получим
Ckiki
Akx + Bkl + ,
Bkl + Akl - ^А_щ _ k^ .
исключая область вблизи kx = ky, где
S=(A + B)kl±Ckl.
Эти кривые обусловливают "искривление" энергетических поверхностей для
дырок вблизи потолка валентной зоны в германии.
12.18. Функция Ванье a(r - Ri) для одной зоны определяется
соотношением
а (г - Ri) = ^ J ?*(/•) ехр (- i/?(-ft) dk,
где интеграл берется по всем состояниям внутри зоны, и fig - объем зоны
Бриллюэна. Соотношение ортогональности имеет вид
J а* (г- Rj) ¦ a (r - Ri) dr=
all sp
= ~ J dr I VI (r) exp (iRj ¦ ft) dk jj Y*. (r) exp (- iRt ¦ ft') dk' =
^ all sp Z Z
= ^ exp (iRj ¦ ft) exp (-iRi ¦ ft') dk dk' ^ 4V(r) (r) dr,
^ Z ¦ all sp
где allsp означает, что интеграл берется по всему пространству"
31S
Z - по зоне. Так как второй интеграл обращается в нуль при k = k', а
первый интеграл обращается в нуль при R{=?!=Rj, то
а (г- Rj) = ^ J (г) ехр (- iRt ¦ к) dk.
Разлагая (г) по собственным функциям импульса v (к -\-Кп), имеем а (г -
Rj) = jk ехр (- iRt ¦ к) dk'?v(k + К") ехр [i (k + Кп) ¦ г] =
= i S 2v(ft + /Cl) ехр + (г-Rif] dk,
так как ехр(-iKn- /?<)=1.
Интегрирование по зоне и суммирование по всем Кп эквивалентно
интегрированию по всем значениям k. Поскольку Qfl = = (2л)3/й (где й -
объем ячейки решетки), то получаем
a{r-Ri) = ~ J v(k)exp[ik (r-Ri)]dk'
fc-sp
В частности,
а (г)= (2л)3 J v (k) ехр (ik ¦ г) dk.
A-sp
Здесь ft-sp означает, что интеграл берется по всему ft-пространству.
12.19. Волновые функции электронов (вычислены ли они приближенно, или
нет) должны преобразовываться какбазисныефункции неприводимых
представлений группы симметрии волнового вектора k. Такая группа либо
оставляет k инвариантным, либо преобразует его в вектор k-\-Kn" где Кп -
вектор обратной решетки.
Для k = (n/d, n/d) эта группа операций симметрии преобразует k следующим
образом:
Е (я/d, n/d)-*- (n/d, n/d) -тождественное преобразование!
2г (n/d, n/d) -*¦ (-n/d, - n/d) - поворот на я вокруг оси z;
43 IS/3: mZT-nii, id)} -пов°р°т на п/2 вокруг °си г;
mx (n/d, n/d)-*- (- n/d, n/d)\ -отражение в плоскостях,
перпендикулярных
ту (л/d, n/i)-*- (n/d, - n/d) J осям x и у-,
та (n/d, n/d)-*- (n/d, n/d) \ -отражение в вертикальных плоскостях, та'
(n/d, n/d)-*-(-n/d,-n/d)j перпендикулярных ft и содержащих ft.
Как показано выше, группа операций симметрии волнового вектора
распадается на пять типов различных операций; таким образом, имеется пять
различных, неприводимых представлений.
Поскольку у нас имеется только четыре плоские волны, то мы можем
построить самое большее четыре базисных функции, ибо такие функции должны
быть независимы и ортогональны. Поль-
314
Таблица 12.19.1
Е 2* 4* тх md
Ri 1 1 1 1 1
r2 1 1 1 - 1 - 1
R3 1 1 - 1 1 - 1
"4 1 1 - 1 - 1 1
Л* 2 -2 0 0 0
зуясь таблицей характеров для этой группы (табл. 12.19.1),. построим
четыре базисные функции и получим: одну функцию,, преобразующуюся как Rlt
другую -как Rt и две -как R5:
ЛХ лу
COS ~г COS а а
. их . ли
sin -3- sin а а
ях . ли cos -т- sin а а
. лх л у
sin-г cos ~-а а
(Ri),
(^4)1
(Rb)-
На языке теории энергетической зонной структуры можно сказать,, что
четырехкратно вырожденное состояние при (n/d, n/d) в приближении
свободных электронов расщепляется в реальном кристалле на четыре уровня:
двукратно вырожденный уровень (R5) и два однократно вырожденных уровня
(Rlt Rt).
Двукратное вырождение сохраняется для любого сколь угодно большого
возмущения при условии, что оно не нарушает симметрию решетки.
12.20. Этот расчет основывается на том факте, что потенциал в решетке
является слабым псевдопотенциалом. Четыре плоские волны, использованные в
разложении волновой функции, задаются в виде
ехр [{(k-Kn) r\,
где *" = (000), (002), (111), (111).
Матрица, определяющая собственные значения энергии, имеет вид
V (111)
V (111)
V (200)
[й-(1П)Р g т*
4-* т* V (200) V (111)
V (200) [ft - (200) * т* Ш v (in)
V (111) V (111) [л-(111)]=" g т*
V (111) V (111) V (200)
315*
Т а б ли ц а 12.20.1
к к Ry к "к. Ry к "к, Ry
(ООО) -0,002 2,506 2,614 3,417 f.LJ Ч \ 2 2 2/ 0,610 0,665 2,318
2,381 (Н 1,012 | 1,012 1 1,063 1,181 (001) 0,799 0,904 1,652 1,766
Чтобы получить собственные значения для точек разной симметрии, матрицу
следует привести к диагональному виду, в результате чего получим табл.
12.20.1.
Ход ? для промежуточных точек показан на рис. 12.20.1.
13. Свойства однородных полупроводн иков
13.1. В металле избыточную по отношению к нормальной концентрацию
электронов можно создать, только внося на образец электростатический
заряд. При таких обстоятельствах в высоко-проводящем веществе избыточные
заряды очень быстро распределяются по образцу так, что вскоре установится
равновесное состояние, при котором электрическое поле в каждой точке
